AMC 10 · 2007 · #12
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AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
'각 가이드는 적어도 한 명을 맡아야 한다'는 표현은 도구 #16(관점 바꾸기, 여집합 세기)의 전형적인 신호입니다. 규칙을 지키는 나눔을 곧바로 세는 대신, 규칙 없이 모든 나눔을 센 다음, 규칙을 어기는 몇 가지만 빼면 됩니다. 모든 나눔을 세는 일은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 쉬워집니다. 각 관광객의 선택이 서로 독립인 작은 결정이고, 독립인 선택들은 곱해지기 때문입니다. 규칙을 어기는 나눔은 모두가 한 가이드에게 몰리는 두 경우뿐이므로, 빼는 일은 단 한 번의 뺄셈입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 그룹 크기별로 세어 독립적으로 확인해 줍니다.
규칙 무시하고 모든 나눔 세기
규칙을 잠시 잊으면 여섯 명이 각자 A나 B를 자유롭게 고르므로 나눔은 2⁶ = 64 가지입니다.
두 갈래로 갈 수 있는 관광객이 한 명 늘 때마다 가능한 나눔의 수는 두 배가 됩니다.
두 갈래로 갈 수 있는 관광객이 하나 늘 때마다 가능한 나뉨이 두 배가 된다.
▸ 왜?
각 관광객은 다른 사람과 상관없이 고르므로, 선택지의 개수가 곱해진다.
▸ 왜?
같은 개수를 되풀이해 곱하는 것이 바로 거듭제곱이 기록하는 바다.
규칙을 어기는 나눔 찾기
한 가이드가 비는 경우는 전원이 다른 가이드를 고를 때뿐이라, 규칙을 어기는 나눔은 딱 2 가지입니다.
가이드가 비는 것은 전체가 다른 가이드로 몰리는 극단적인 경우뿐입니다.
4.OA.A.3Change Focus Count The Complement빼서 답 구하기
전체에서 두 경우를 빼면 64 - 2 = 62 가지가 남고, 이것이 보기 (D)입니다.
나쁜 두 경우만 덜어내면 남는 것은 모두 규칙을 지킵니다.
4.OA.A.3Change Focus Count The Complement'양쪽 모두 적어도 하나씩'이라는 규칙이 있으면, 먼저 가능한 모든 나눔을 센 다음, 한쪽을 비우는 몇 가지만 빼면 됩니다.
- 규칙 무시하고 모든 나눔 세기
- 규칙을 어기는 나눔 찾기
- 빼서 답 구하기