AMC 10 · 2006 · #21

학년 4 arithmetic

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements

complementary-countingpermutations-basicplace-value identify-subproblems ↑ 선수 지식: complementary-counting

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

네 자리 양의 정수는 1000부터 9999까지이다. 네 자리 중 적어도 한 자리에 숫자 2 또는 숫자 3이 나오면 그 수를 '해당 수'라고 하자. 해당 수인 네 자리 정수는 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

2439

(B)

4096

(C)

4903

(D)

4904

(E)

5416

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

"적어도 하나"라는 표현은 도구 #16(관점 바꾸기, 여집합 세기)의 전형적인 신호이다. 2나 3을 포함하는 수를 정면으로 세면 겹치는 경우(2와 3을 둘 다 갖거나 2가 두 개인 경우 등)가 뒤엉켜 복잡해지지만, 반대편 무리 — 2도 3도 전혀 없는 수 — 는 깔끔하게 한 번에 셀 수 있다. 그래서 전체에서 '하나도 없는 것'을 빼는 방법을 쓴다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 그 두 개수를 각각 한 자리씩 정하며 경우의 수를 곱해 구하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 빠르게 점검한다: 네 자리 정수의 절반 이상이 조건을 만족할 것이므로, 이미 가장 큰 선택지 쪽을 가리킨다.

1STEP 1

여집합으로 뒤집기

"2 또는 3이 있다"를 정면으로 세면 겹침이 얽힌다. 뒤집어서 전체에서 둘 다 피한 수를 빼자.

#(2 또는 3 하나 이상) = #(전체) - #(2, 3 없음)

2STEP 2

네 자리 수 전체 세기

한 자리씩 만든다. 첫째 자리는 9 가지(0 제외), 나머지 셋은 각각 10 가지 → 모두 9000 개.

9 × 10 × 10 × 10 = 9000

3STEP 3

2도 3도 없는 수 세기

모든 자리에서 2와 3을 막으면 첫째 자리는 7 가지, 나머지는 각각 8 가지 → 피한 수 3584 개.

7 × 8 × 8 × 8 = 7 × 512 = 3584

4STEP 4

빼서 마무리

전체에서 피한 수를 뺀다. 9000 - 3584 = 5416, 모두 2 또는 3을 가진다 → (E).

9000 - 3584 = 5416 → (E)

정답

5416

답 5416은 전체 9000의 절반을 훌쩍 넘는데, 이는 직관에 맞는다. 네 개의 자리마다 2나 3이 나올 기회가 어느 정도 있으므로, 그중 적어도 하나가 걸릴 가능성이 크다 — 따라서 다수가 조건을 만족하는 것이 자연스럽다. 이로써 (A) 2439(절반 미만)는 즉시 탈락하고 큰 선택지들이 유력해진다. 피한 수의 개수도 확인된다: 8³ = 512, 7 × 512 = 3584이고, 3584 + 5416 = 9000으로 전체가 복원되므로 빠뜨리거나 중복해 센 수가 없다.

💡핵심 정리

문제에 "적어도 하나"가 나오면, 전체를 세고 하나도 없는 경우를 빼라 — 남은 것이 답이다.

여집합으로 뒤집기
네 자리 수 전체 세기
2도 3도 없는 수 세기
빼서 마무리

여집합으로 뒤집기

네 자리 수 전체 세기

2도 3도 없는 수 세기

빼서 마무리

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