AMC 10 · 2007 · #3

학년 5 arithmetic

유형 Solid Volume by Decomposition └ 세부 유형 Sum of Primitive Solids

volume-rectangular-prismarea-rectanglesidentify-subproblems identify-subproblems ↑ 선수 지식: volume-rectangular-prism

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 수족관의 밑면은 가로 $100$ cm, 세로 $40$ cm인 직사각형이고 높이는 $50$ cm이다. 이 수족관은 높이 $40$ cm까지 물로 채워져 있다. 밑면이 가로 $40$ cm, 세로 $20$ cm인 직사각형이고 높이가 $10$ cm인 벽돌 하나를 수족관에 넣는다. 물의 높이는 몇 센티미터 올라가는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

0.5

(B)

(C)

1.5

(D)

(E)

2.5

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 밑면이 $100$ cm $\times$ $40$ cm이고 높이가 $50$ cm인 직육면체 어항에 물이 $40$ cm 깊이로 담겨 있다. $40$ cm $\times$ $20$ cm $\times$ $10$ cm인 벽돌을 바닥에 놓는다. 물 표면이 몇 센티미터 올라가는지 구하여라.

주어진 것: 어항의 밑면은 $100$ cm $\times$ $40$ cm이고 높이는 $50$ cm이다; 처음 물의 깊이는 $40$ cm이다; 벽돌은 $40$ cm $\times$ $20$ cm $\times$ $10$ cm인 속이 꽉 찬 직육면체이다; 벽돌은 어항 바닥에 놓는다; 선택지: (A) $0.5$, (B) $1$, (C) $1.5$, (D) $2$, (E) $2.5$

구하는 것: 벽돌을 넣은 뒤 물 표면이 올라가는 높이(센티미터)

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #8 단위 살펴보기

단면을 간단히 그려 보면(도구 #1, 그림 그리기) 핵심이 보인다: 벽돌은 물속에 완전히 잠겨서 자기 부피만큼의 물을 밀어내고, 그 물은 위로 갈 수밖에 없어 밑면 전체에 얇은 층으로 퍼진다. 이 그림이 분명해지면 문제는 두 개의 깔끔한 작은 문제로 나뉜다(도구 #7): 먼저 벽돌의 부피, 그다음 그 부피를 어항 밑면 전체에 펼쳤을 때의 층 높이. 도구 #8(단위 살펴보기)은 마지막 단계를 확인해 준다. cm$^3$ 단위의 부피를 cm$^2$ 단위의 밑넓이로 나누면 반드시 cm 단위의 높이가 나오기 때문이다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 5.MD.C.3 단계 1

벽돌이 물에 하는 일 파악하기

어항을 옆에서 본 그림을 그려 보자.
물은 $40$ cm 깊이이고 벽돌은 높이가 $10$ cm뿐이므로, 바닥에 놓으면 벽돌 전체가 물속에 잠긴다.
물속에 잠긴 딱딱한 물체는 원래 물이 있던 공간을 차지하므로 그만큼의 물을 밀어낸다.
밀려난 물은 위로 갈 수밖에 없고, 어항 밑면 전체에 퍼져서 표면을 어디서나 똑같이 조금씩 들어 올린다.

💡 물에 잠긴 딱딱한 물체는 정확히 자기 부피만큼의 물을 밀어낸다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.MD.C.5 단계 2

벽돌의 부피 구하기

벽돌은 직육면체이므로 부피는 가로 곱하기 세로 곱하기 높이이다.
세 변의 길이를 곱하면 $40\times20\times10=8000$이다.
따라서 벽돌은 $8000$ 세제곱센티미터를 차지하고, 이것이 바로 위로 밀려 올라가는 물의 양이다.

$$40\times20\times10=8000\text{ cm}^3$$

💡 직육면체의 부피는 그 안을 채우는 단위 정육면체의 개수, 즉 가로 곱하기 세로 곱하기 높이이다.

#8 단위 살펴보기 5.NBT.B.6 단계 3

그 부피를 밑면 전체에 펼치기

들어 올려진 물은 어항 밑면 전체를 덮는 얇은 층을 이룬다.
밑넓이는 $100\times40=4000$ 제곱센티미터이다.
이 층의 부피는 $8000$ cm$^3$이므로, 층의 높이 $h$는 (밑넓이) 곱하기 높이 $=$ 부피, 즉 $4000\times h=8000$을 만족한다.
나누면 $h=8000\div4000=2$이다.
물은 $2$ cm 올라가고, 이것은 선택지 (D)이다.

$$4000\times h = 8000 \;\Rightarrow\; h = \dfrac{8000}{4000}=2\text{ cm} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 부피를 밑넓이로 나누면 높이가 나온다. cm$^3\div$ cm$^2=$ cm이기 때문이다.

[1] #1 5.MD.C.3 어항을 옆에서 본 그림을 그려 보자. 물은 $40$ cm 깊이이고 벽돌은 높이가 $10$ cm뿐이므로, 바닥에 놓으면 벽돌 전체가 물속에 잠긴다

[2] #7 5.MD.C.5 벽돌은 직육면체이므로 부피는 가로 곱하기 세로 곱하기 높이이다. 세 변의 길이를 곱하면 $40\times20\times10=8000$이다. 따라

[3] #8 5.NBT.B.6 들어 올려진 물은 어항 밑면 전체를 덮는 얇은 층을 이룬다. 밑넓이는 $100\times40=4000$ 제곱센티미터이다. 이 층의 부피는 $80

검토

합리성 확인: 답이 작고 양수라는 점이 맞는다 — 작은 벽돌은 넓은 어항의 물을 조금만 밀어 올린다. 크기를 확인해 보자: 벽돌의 바닥 넓이는 $40\times20=800$ cm$^2$로 어항 밑넓이 $4000$ cm$^2$의 $5$분의 $1$이고, 벽돌 높이는 $10$ cm이므로, 그 $10$ cm의 고체를 $5$배 넓은 밑면에 펼치면 약 $10\times\tfrac{800}{4000}=2$ cm가 되어 일치한다. 또한 어항은 넘치지 않는다: 수위는 $40$ cm에서 $42$ cm로 올라가 여전히 $50$ cm 테두리 아래이므로, 벽돌 전체가 정말로 물속에 잠긴 채이고 추론이 성립한다. 답은 $2$ cm, (D)이다.

대안 접근: 변수를 쓰고 물의 양이 보존됨을 이용할 수도 있다. 물의 양은 변하지 않으므로 처음에 $4000\times40=160000$ cm$^3$이다. 벽돌을 넣은 뒤, 물은 벽돌이 차지한 공간만 빼고 어디서나 높이 $40+h$까지 채우므로 $4000\times(40+h)-8000=160000$이다. 전개하면 $160000+4000h-8000=160000$이 되어 $4000h=8000$, 즉 $h=2$로 같은 답을 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.MD.C.3 부피를 입체도형의 속성으로 인식하기 (물에 잠긴 벽돌이 부피를 차지하여 같은 부피의 물을 위로 밀어낸다는 것을 이해하는 데 사용.)
5.MD.C.5 부피를 곱셈과 덧셈 연산과 연결하기 (벽돌의 부피를 $40\times20\times10=8000$ cm$^3$으로 계산하는 데 사용.)
5.NBT.B.6 네 자리 이하 피제수와 두 자리 제수의 자연수 나눗셈의 몫 구하기 (밀려난 부피를 밑넓이로 나누어 올라가는 높이를 구하는 데 사용: $8000\div4000=2$.)

⭐ 물에 잠긴 물체는 자기 부피만큼의 물을 밀어 올리므로, 그 부피를 어항 밑면에 펼치면 물이 얼마나 올라가는지 알 수 있다.