AMC 10 · 2007 · #3

학년 5 geometry-3d

유형 Solid Volume by Decomposition └ 세부 유형 Sum of Primitive Solids

volume-rectangular-prismarea-rectanglesidentify-subproblems identify-subproblems ↑ 선수 지식: volume-rectangular-prism

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

밑면이 100 cm × 40 cm이고 높이가 50 cm인 직육면체 어항에 물이 40 cm 깊이로 담겨 있다. 40 cm × 20 cm × 10 cm인 벽돌을 바닥에 놓는다. 물 표면이 몇 센티미터 올라가는지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

0.5

(B)

(C)

1.5

(D)

(E)

2.5

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

단면을 간단히 그려 보면(도구 #1, 그림 그리기) 핵심이 보인다: 벽돌은 물속에 완전히 잠겨서 자기 부피만큼의 물을 밀어내고, 그 물은 위로 갈 수밖에 없어 밑면 전체에 얇은 층으로 퍼진다. 이 그림이 분명해지면 문제는 두 개의 깔끔한 작은 문제로 나뉜다(도구 #7): 먼저 벽돌의 부피, 그다음 그 부피를 어항 밑면 전체에 펼쳤을 때의 층 높이. 도구 #8(단위 살펴보기)은 마지막 단계를 확인해 준다. cm³ 단위의 부피를 cm² 단위의 밑넓이로 나누면 반드시 cm 단위의 높이가 나오기 때문이다.

1STEP 1

벽돌이 물에 하는 일 파악하기

옆에서 보면 벽돌(10 cm)은 물(40 cm)보다 낮아 완전히 잠기고, 밀려난 물은 위로만 갈 수 있다.

2STEP 2

벽돌의 부피 구하기

벽돌은 직육면체이므로 부피는 40×20×10=8000 cm³이고, 이만큼의 물이 위로 밀려 올라간다.

40×20×10=8000 cm³

3STEP 3

그 부피를 밑면 전체에 펼치기

그 층은 밑면 전체를 덮으므로 100×40=4000 cm²에서 4000h=8000, 즉 h=2 cm 올라간다. (D)

4000 × h = 8000 → h = 8000/4000=2 cm → (D)

정답

답이 작고 양수라는 점이 맞는다 — 작은 벽돌은 넓은 어항의 물을 조금만 밀어 올린다. 크기를 확인해 보자: 벽돌의 바닥 넓이는 40×20=800 cm²로 어항 밑넓이 4000 cm²의 5분의 1이고, 벽돌 높이는 10 cm이므로, 그 10 cm의 고체를 5배 넓은 밑면에 펼치면 약 10×800/4000=2 cm가 되어 일치한다. 또한 어항은 넘치지 않는다: 수위는 40 cm에서 42 cm로 올라가 여전히 50 cm 테두리 아래이므로, 벽돌 전체가 정말로 물속에 잠긴 채이고 추론이 성립한다. 답은 2 cm, (D)이다.

💡핵심 정리

물에 잠긴 물체는 자기 부피만큼의 물을 밀어 올리므로, 그 부피를 어항 밑면에 펼치면 물이 얼마나 올라가는지 알 수 있다.

벽돌이 물에 하는 일 파악하기
벽돌의 부피 구하기
그 부피를 밑면 전체에 펼치기

벽돌이 물에 하는 일 파악하기

벽돌의 부피 구하기

그 부피를 밑면 전체에 펼치기

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