AMC 10 · 2007 · #10

학년 6 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Axis-Aligned Figure Area from Coordinates
area-trianglescoordinate-geometry convert-to-algebra ↑ 선수 지식: area-triangles
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
평면 위에 두 점 B와 C가 고정되어 있다. 삼각형 ABC의 넓이가 정확히 1이 되는 모든 점 A를 생각하자. 이러한 점 A들이 모여서 이루는 도형을 설명하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
two parallel lines
(B)
a parabola
(C)
a circle
(D)
a line segment
(E)
two points

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

선분 BC를 그리고 꼭짓점 A가 어디에 있을 수 있는지 물으면(도구 #1), 추상적인 설명이 움직이는 점의 그림으로 바뀐다. 고정된 밑변 길이와 높이에 이름을 붙이면(도구 #4), 넓이 조건이 높이를 하나로 고정하는 한 개의 방정식이 된다. 도형을 알아낸 뒤에는 도구 #3(가능성 지우기)으로 각 선택지와 대조하는데, 이 문제는 다섯 가지 도형 중 하나를 고르는 문제이기 때문이다.

1STEP 1

BC를 밑변으로 넓이 쓰기

고정된 선분 BC를 밑변으로 삼자. 넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반이고, BC는 변하지 않으니 A까지의 높이만 변한다.

[△ ABC]=1/2 · BC · h
2STEP 2

넓이를 고정하면 높이가 고정된다

밑변을 b=BC라 하면 1/2·b·h=1에서 h=2/b이므로, 모든 꼭짓점 A는 직선 BC에서 딱 그만큼 떨어져 있다.

1/2 b h=1 → h=2/b (상수)
3STEP 3

그 고정 거리에 있는 모든 점 모으기

직선 BC에서 거리가 2/b인 점들은 양쪽에 하나씩, BC에 평행한 두 직선을 이룬다. 둘 다 무한하므로 답은 (A)이다.

S={A:dist(A, BC)=2/b}=BC에 평행한 두 직선
정답
평행한 두 직선
구체적인 경우로 도형을 확인하자: B=(0,0), C=(2,0)으로 놓으면 b=2이고 필요한 높이는 h=2/2=1이다. (0,1),(5,1),(-3,1) 같은 꼭짓점은 모두 밑변 2, 높이 1이므로 넓이 1이고, 모두 직선 y=1 위에 있다. (0,-1),(4,-1)도 넓이 1이며 직선 y=-1 위에 있다. x축 위의 BC에 평행한 두 수평선 y=1과 y=-1이 나타나므로, 평행한 두 직선과 정확히 일치하고 유한한 도형은 배제된다.
💡핵심 정리

삼각형의 밑변과 넓이를 고정하면 꼭짓점은 밑변 직선에서 하나의 거리에 갇히고, 그 거리만큼 떨어진 모든 점은 평행한 두 직선을 이룬다.

  • BC를 밑변으로 넓이 쓰기
  • 넓이를 고정하면 높이가 고정된다
  • 그 고정 거리에 있는 모든 점 모으기

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