AMC 10 · 2007 · #10

학년 6 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Axis-Aligned Figure Area from Coordinates

area-trianglescoordinate-geometry convert-to-algebra ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

평면 위에 두 점 $B$ 와 $C$ 가 있다. $\triangle ABC$ 의 넓이가 $1$ 이 되는 평면 위의 모든 점 $A$ 의 집합을 $S$ 라 하자. 다음 중 $S?$ 를 올바르게 설명한 것은 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

two parallel lines

(B)

a parabola

(C)

a circle

(D)

a line segment

(E)

two points

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 평면 위에 두 점 $B$와 $C$가 고정되어 있다. 삼각형 $ABC$의 넓이가 정확히 $1$이 되는 모든 점 $A$를 생각하자. 이러한 점 $A$들이 모여서 이루는 도형을 설명하여라.

주어진 것: 두 점 $B$와 $C$는 고정되어 있으므로 선분 $BC$의 길이도 고정되어 있다; $S$는 $[\triangle ABC]=1$을 만족하는 모든 점 $A$의 집합이다; 선택지: (A) 평행한 두 직선, (B) 포물선, (C) 원, (D) 선분, (E) 두 점

구하는 것: 가능한 꼭짓점 $A$들의 집합 $S$가 어떤 이름의 도형을 이루는지

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #3 가능성 지우기

선분 $BC$를 그리고 꼭짓점 $A$가 어디에 있을 수 있는지 물으면(도구 #1), 추상적인 설명이 움직이는 점의 그림으로 바뀐다. 고정된 밑변 길이와 높이에 이름을 붙이면(도구 #4), 넓이 조건이 높이를 하나로 고정하는 한 개의 방정식이 된다. 도형을 알아낸 뒤에는 도구 #3(가능성 지우기)으로 각 선택지와 대조하는데, 이 문제는 다섯 가지 도형 중 하나를 고르는 문제이기 때문이다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1

$BC$를 밑변으로 넓이 쓰기

고정된 선분 $BC$를 그리고 이를 삼각형의 밑변으로 삼는다.
삼각형의 넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반이며, 여기서 높이는 꼭짓점 $A$에서 직선 $BC$까지 내린 수직 거리이다.
$B$와 $C$가 고정되어 있으므로 밑변 길이 $BC$는 변하지 않고, $A$가 움직임에 따라 오직 높이만 변할 수 있다.

$$[\triangle ABC]=\tfrac12\cdot BC\cdot h$$

💡 밑변 $BC$가 고정되어 있으므로 삼각형의 넓이는 $A$가 직선 $BC$에서 얼마나 떨어져 있는지에 의해서만 정해진다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.7 단계 2

넓이를 고정하면 높이가 고정된다

넓이를 $1$로 놓는다.
고정된 밑변 길이를 $b=BC$, 높이를 $h$라 하자.
그러면 $\tfrac12\,b\,h=1$이므로 $h=\dfrac{2}{b}$이다.
$b$가 고정된 수이므로 $h$도 하나의 고정된 양수이다.
가능한 모든 꼭짓점 $A$는 직선 $BC$에서 정확히 이 하나의 거리만큼 떨어져 있어야 한다.

$$\tfrac12\,b\,h=1\;\Rightarrow\;h=\dfrac{2}{b}\ (\text{상수})$$

💡 밑변이 고정되면 넓이 $1$을 주는 높이는 하나뿐이므로, $A$는 밑변 직선에서 고정된 거리에 갇힌다.

#3 가능성 지우기 4.G.A.1 단계 3

그 고정 거리에 있는 모든 점 모으기

이제 직선 $BC$에서 고정된 거리 $h=\tfrac{2}{b}$만큼 떨어진 모든 점을 찾는다.
직선 $BC$의 한쪽에서 그러한 점들은 $BC$에 평행하고 거리가 $h$인 직선을 이루고, 반대쪽에서는 같은 거리만큼 떨어진 또 하나의 평행한 직선을 이룬다.
꼭짓점은 두 자취 중 어느 쪽을 따라 자유롭게 미끄러져도 넓이 $1$을 유지하므로, $S$는 $BC$에 평행한 이 두 직선 전체이다.
선택지 확인: 원(C)은 점에서 고정된 거리이지 직선에서가 아니고, 포물선(B)은 초점과 준선 규칙이 필요한데 여기에는 없으며, 선분(D)이나 두 점(E)은 유한하지만 $A$는 각 자취를 따라 무한히 멀리 뻗어 나간다.
오직 평행한 두 직선만 남으므로 답은 $\textbf{(A)}$이다.

$S=\{A:\operatorname{dist}(A,\,\overleftrightarrow{BC})=\tfrac{2}{b}\}=\text{$BC$에 평행한 두 직선}$

💡 한 직선에서 고정된 거리에 있는 모든 점은 양쪽에 하나씩, 평행한 두 직선을 이룬다.

[1] #1 6.G.A.1 고정된 선분 $BC$를 그리고 이를 삼각형의 밑변으로 삼는다. 삼각형의 넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반이며, 여기서 높이는 꼭짓점 $A$에서 직

[2] #4 6.EE.B.7 넓이를 $1$로 놓는다. 고정된 밑변 길이를 $b=BC$, 높이를 $h$라 하자. 그러면 $\tfrac12\,b\,h=1$이므로 $h=\dfra

[3] #3 4.G.A.1 이제 직선 $BC$에서 고정된 거리 $h=\tfrac{2}{b}$만큼 떨어진 모든 점을 찾는다. 직선 $BC$의 한쪽에서 그러한 점들은 $BC$

검토

합리성 확인: 구체적인 경우로 도형을 확인하자: $B=(0,0)$, $C=(2,0)$으로 놓으면 $b=2$이고 필요한 높이는 $h=\tfrac{2}{2}=1$이다. $(0,1),(5,1),(-3,1)$ 같은 꼭짓점은 모두 밑변 $2$, 높이 $1$이므로 넓이 $1$이고, 모두 직선 $y=1$ 위에 있다. $(0,-1),(4,-1)$도 넓이 $1$이며 직선 $y=-1$ 위에 있다. $x$축 위의 $BC$에 평행한 두 수평선 $y=1$과 $y=-1$이 나타나므로, 평행한 두 직선과 정확히 일치하고 유한한 도형은 배제된다.

대안 접근: 처음부터 좌표를 쓴다: $B=(0,0)$, $C=(b,0)$으로 놓으면 $A=(x,y)$인 삼각형 $ABC$의 넓이는 $\tfrac12\,b\,|y|$이다. 이를 $1$로 놓으면 $|y|=\tfrac{2}{b}$이므로 $y=\tfrac{2}{b}$ 또는 $y=-\tfrac{2}{b}$이다. 각 식은 수평선이고 $x$는 자유로우므로 평행한 두 직선이 되어 (A)가 확인된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (삼각형의 넓이를 고정된 밑변 $BC$의 절반과 꼭짓점 $A$로부터의 높이의 곱으로 나타내기.)
6.EE.B.7 Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q ($\tfrac12\,b\,h=1$을 풀어 높이 $h=\tfrac{2}{b}$가 하나의 고정된 값임을 보이기.)
4.G.A.1 Draw points, lines, line segments, rays, angles, and identify in figures (직선 $BC$에서 고정된 거리에 있는 모든 점이 $BC$에 평행한 두 직선을 이룬다는 것을 알아보기.)

⭐ 삼각형의 밑변과 넓이를 고정하면 꼭짓점은 밑변 직선에서 하나의 거리에 갇히고, 그 거리만큼 떨어진 모든 점은 평행한 두 직선을 이룬다.