AMC 10 · 2008 · #19

학년 8 geometry-2d

유형 Path Length Comparison & Shortest Path └ 세부 유형 Sum Known Path Segments

rotation-isometrypythagorean-theoremcoordinate-geometry spatial-visualizationphysical-representation ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

평면 위에 직사각형 PQRS가 있고 PQ = RS = 2, QR = SP = 6이다. 이 직사각형을 먼저 R을 중심으로 시계 방향으로 90도 회전한 뒤, 첫 번째 회전 후 S가 이동한 점을 중심으로 시계 방향으로 90도 회전한다. 점 P가 지나간 경로의 길이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \left(2\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)\pi$

(B)

$\ 6\pi$

(C)

$\ \left(3+\sqrt{10}\right)\pi$

(D)

$\ \left(\sqrt{3}+2\sqrt{5}\right)\pi$

(E)

$\ 2\sqrt{10}\pi$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 공간 상상하기

이 문제의 핵심은 한 꼭짓점이 두 번의 회전을 거치며 어디로 가는지 따라가는 것이다. 그래서 각 점이 이동하는 자리를 머릿속으로(그리고 좌표평면 위에서) 그려 보는 것이 가장 중요하다. 좌표를 쓰면 회전을 정확히 계산할 수 있고, 전체 경로는 각각 사분원인 두 개의 호로 깔끔하게 나뉘며, 각 호의 반지름은 P와 중심 사이의 거리일 뿐이다.

1STEP 1

직사각형을 좌표평면에 놓기

P를 (0,6), Q를 (2,6), R을 (2,0), S를 (0,0)에 놓으면 변의 길이가 2와 6으로 맞는다.

P=(0,6), Q=(2,6), R=(2,0), S=(0,0)

2STEP 2

첫 번째 호의 반지름 구하기

첫 회전은 R을 중심으로 도니 P와 R의 거리가 반지름이다. 두 변 2와 6에서 2√(10)이다.

PR=√(2²+6²)=√(40)=2√(10)

3STEP 3

첫 번째 사분원의 길이

90도는 한 바퀴의 사분의 일이므로 반지름 2√(10)인 원 둘레의 사분의 일, 곧 √(10) π이다.

1/4 · 2π · 2√(10)=√(10) π

4STEP 4

S와 P가 옮겨간 자리 추적하기

R 중심 시계 방향 90도 회전은 (x,y)를 (2+y, 2-x)로 보내 S는 (2,2), P는 (8,2)로 간다.

(x,y)↦(2+y, 2-x): S→(2,2), P→(8,2)

5STEP 5

두 번째 사분원의 길이

(8,2)의 P가 (2,2)를 중심으로 돈다. 높이가 같아 반지름은 6이고 사분원 길이는 3π이다.

반지름=6, 1/4 · 2π · 6=3π

6STEP 6

두 호를 더하기

두 호가 틈 없이 이어지므로 더한다. √(10) π + 3π = (3+√(10))π, 보기 (C).

√(10) π+3π=(3+√(10))π

정답

(3+√(10))π

두 반지름 2√(10)≈6.3과 6은 모두 6에 가깝고 각각 사분원을 그리므로, 전체 길이는 반지름 6인 원의 사분원 두 개의 합보다 조금 커야 한다. 즉 대략 √(10) π+3π≈3.16π+3π=6.16π이다. 보기 (C)의 (3+√(10))π≈6.16π가 이에 맞는다. 보기 (B) 6π도 비슷하지만 첫 반지름이 6을 넘는다는 점을 무시하므로 (C)가 옳다.

💡핵심 정리

90도 회전은 꼭짓점을 사분원 호로 보내고 그 반지름은 중심과의 거리일 뿐이니, 두 사분원 호를 더하면 전체 경로가 된다.

직사각형을 좌표평면에 놓기
첫 번째 호의 반지름 구하기
첫 번째 사분원의 길이
S와 P가 옮겨간 자리 추적하기
두 번째 사분원의 길이
두 호를 더하기