AMC 10 · 2008 · #19

학년 8 geometry-2d

유형 Path Length Comparison & Shortest Path └ 세부 유형 Sum Known Path Segments

rotation-isometrypythagorean-theoremcoordinate-geometry spatial-visualizationphysical-representation ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

직사각형 $PQRS$ 가 평면 위에 있고 $PQ=RS=2$ , $QR=SP=6$ 이다. 이 직사각형을 $R$ 을 중심으로 시계 방향으로 $90^\circ$ 회전한 뒤, 첫 번째 회전 후 $S$ 가 이동한 점을 중심으로 시계 방향으로 다시 $90^\circ$ 회전한다. 점 $P$ 가 지나간 경로의 길이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \left(2\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)\pi$

(B)

$\ 6\pi$

(C)

$\ \left(3+\sqrt{10}\right)\pi$

(D)

$\ \left(\sqrt{3}+2\sqrt{5}\right)\pi$

(E)

$\ 2\sqrt{10}\pi$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 가로세로 2와 6인 직사각형 PQRS를 꼭짓점 R을 중심으로 시계 방향 90도 돌리고, 이어서 S가 이동한 자리를 중심으로 다시 시계 방향 90도 돌린다. 두 번의 회전 동안 꼭짓점 P가 그리는 곡선 경로의 전체 길이를 구한다.

주어진 것: 직사각형 PQRS에서 PQ = RS = 2, QR = SP = 6이다.; 첫 번째 이동: R을 중심으로 시계 방향으로 90도 회전한다.; 두 번째 이동: 첫 회전 후 S가 옮겨간 새 위치를 중심으로 시계 방향 90도 회전한다.

구하는 것: 두 번의 회전 동안 점 P가 이동한 경로의 전체 길이.

이해

계획

주요 도구: #17 공간 상상하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기

이 문제의 핵심은 한 꼭짓점이 두 번의 회전을 거치며 어디로 가는지 따라가는 것이다. 그래서 각 점이 이동하는 자리를 머릿속으로(그리고 좌표평면 위에서) 그려 보는 것이 가장 중요하다. 좌표를 쓰면 회전을 정확히 계산할 수 있고, 전체 경로는 각각 사분원인 두 개의 호로 깔끔하게 나뉘며, 각 호의 반지름은 P와 중심 사이의 거리일 뿐이다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 6.NS.C.8 단계 1

직사각형을 좌표평면에 놓기

회전을 계산으로 바꾸기 위해 각 꼭짓점에 좌표를 준다.
P를 (0,6), Q를 (2,6), R을 (2,0), S를 (0,0)에 놓으면 PQ = 2, QR = 6, RS = 2, SP = 6이 되어 주어진 변의 길이와 일치한다.

$$P=(0,6),\ Q=(2,6),\ R=(2,0),\ S=(0,0)$$

💡 좌표를 쓰면 '꼭짓점을 중심으로 돌리기'가 계산할 수 있는 거리로 바뀐다.

#17 공간 상상하기 8.G.B.8 단계 2

첫 번째 호의 반지름 구하기

첫 회전에서는 모든 점이 R을 중심으로 돌므로 P는 R과의 처음 거리를 그대로 유지한다.
그 거리가 P가 그리는 원 호의 반지름이다.
두 변이 2와 6인 직각삼각형에서 구한다.

$$PR=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$$

💡 회전은 모든 점과 중심 사이의 거리를 일정하게 유지하므로, 그 거리가 곧 호의 반지름이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 3

첫 번째 사분원의 길이

90도 회전은 360도 한 바퀴의 사분의 일이므로 P는 반지름 2\sqrt{10}인 원의 사분의 일을 그린다.
둘레의 사분의 일을 취한다.

$$\tfrac{1}{4}\cdot 2\pi\cdot 2\sqrt{10}=\sqrt{10}\,\pi$$

💡 90도는 360도의 사분의 일이므로 원 둘레의 사분의 일만 취하면 된다.

#17 공간 상상하기 8.G.A.3 단계 4

S와 P가 옮겨간 자리 추적하기

두 번째 회전의 중심은 첫 회전 후 S가 간 자리이므로 꼭짓점들을 따라가야 한다.
R을 중심으로 한 시계 방향 90도 회전은 임의의 점 (x,y)를 (2+y, 2-x)로 보낸다.
이에 따라 S=(0,0)은 (2,2)로, P=(0,6)은 (8,2)로 이동한다.
따라서 새 중심은 (2,2)이고 P는 이제 (8,2)에 있다.

$$(x,y)\mapsto(2+y,\ 2-x):\quad S\to(2,2),\ P\to(8,2)$$

💡 두 번째 회전은 S가 처음 있던 곳이 아니라 옮겨간 곳에서 일어나므로 중심 자체를 추적해야 한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 5

두 번째 사분원의 길이

이제 (8,2)에 있는 P가 새 중심 (2,2)를 기준으로 90도 회전한다.
두 점의 높이가 같으므로 반지름은 가로 방향 거리인 8 - 2 = 6이다.
다시 그 원의 사분의 일을 취한다.

\text{반지름}=6,\qquad \tfrac{1}{4}\cdot 2\pi\cdot 6=3\pi

💡 같은 사분원 원리이고, 중심과 반지름만 새로 바뀐 것이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.2 단계 6

두 호를 더하기

경로는 두 호가 틈 없이 이어 붙은 것이므로 길이를 더한다.
\sqrt{10}\,\pi + 3\pi = (3+\sqrt{10})\pi.
이것은 보기 (C)와 일치한다.

$$\sqrt{10}\,\pi+3\pi=\left(3+\sqrt{10}\right)\pi$$

💡 경로가 끊기지 않으므로 전체 길이는 두 호의 길이를 더한 값일 뿐이다.

[1] #1 6.NS.C.8 회전을 계산으로 바꾸기 위해 각 꼭짓점에 좌표를 준다. P를 (0,6), Q를 (2,6), R을 (2,0), S를 (0,0)에 놓으면 PQ =

[2] #17 8.G.B.8 첫 회전에서는 모든 점이 R을 중심으로 돌므로 P는 R과의 처음 거리를 그대로 유지한다. 그 거리가 P가 그리는 원 호의 반지름이다. 두 변이

[3] #7 7.G.B.4 90도 회전은 360도 한 바퀴의 사분의 일이므로 P는 반지름 2\sqrt{10}인 원의 사분의 일을 그린다. 둘레의 사분의 일을 취한다.

[4] #17 8.G.A.3 두 번째 회전의 중심은 첫 회전 후 S가 간 자리이므로 꼭짓점들을 따라가야 한다. R을 중심으로 한 시계 방향 90도 회전은 임의의 점 (x,y

[5] #7 7.G.B.4 이제 (8,2)에 있는 P가 새 중심 (2,2)를 기준으로 90도 회전한다. 두 점의 높이가 같으므로 반지름은 가로 방향 거리인 8 - 2 =

[6] #7 8.EE.A.2 경로는 두 호가 틈 없이 이어 붙은 것이므로 길이를 더한다. \sqrt{10}\,\pi + 3\pi = (3+\sqrt{10})\pi. 이것은

검토

합리성 확인: 두 반지름 2\sqrt{10}\approx6.3과 6은 모두 6에 가깝고 각각 사분원을 그리므로, 전체 길이는 반지름 6인 원의 사분원 두 개의 합보다 조금 커야 한다. 즉 대략 \sqrt{10}\,\pi+3\pi\approx3.16\pi+3\pi=6.16\pi이다. 보기 (C)의 (3+\sqrt{10})\pi\approx6.16\pi가 이에 맞는다. 보기 (B) 6\pi도 비슷하지만 첫 반지름이 6을 넘는다는 점을 무시하므로 (C)가 옳다.

대안 접근: 좌표 없이 직사각형에서 피타고라스 정리를 바로 써도 된다. P와 R 사이 거리는 2 곱하기 6 직사각형의 대각선인 \sqrt{40}=2\sqrt{10}이고, 첫 회전 뒤 P와 옮겨간 S 사이 거리는 긴 변인 6이다. 이 두 반지름의 사분원을 더하면 \tfrac{1}{4}(2\pi)(2\sqrt{10})+\tfrac{1}{4}(2\pi)(6)=(3+\sqrt{10})\pi로 좌표를 쓰지 않고도 같은 답이 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.NS.C.8 Solve real-world problems by graphing points in all four quadrants (직사각형의 꼭짓점을 좌표평면에 놓아 회전을 계산할 수 있게 만들기.)
8.G.B.8 Apply the Pythagorean theorem to find distance between two points in a coordinate system (P와 중심 R 사이 거리를 구해 첫 호의 반지름 정하기.)
7.G.B.4 Know the formulas for area and circumference of a circle (반지름으로부터 각 사분원 호의 길이 계산하기.)
8.G.A.3 Describe the effect of dilations, translations, rotations, and reflections on coordinates (첫 시계 방향 90도 회전 뒤 S와 P가 어디로 가는지 대응시키기.)
8.EE.A.2 Use square root and cube root symbols to represent solutions (전체 경로를 정확한 근호 형태 (3+\sqrt{10})\pi로 유지하기.)

⭐ 90도 회전은 꼭짓점을 사분원 호로 보내고 그 반지름은 중심과의 거리일 뿐이니, 두 사분원 호를 더하면 전체 경로가 된다.