AMC 10 · 2009 · #4

학년 6 rate-ratio

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Piecewise-Leg Time Balance

rateunit-conversionfraction-arithmetic identify-subproblemswork-backwards ↑ 선수 지식: rate

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

에릭은 철인 3종 경기에 출전할 계획이다. 그는 $\frac{1}{4}$ 마일 수영에서는 시속 $2$ 마일, $3$ 마일 달리기에서는 시속 $6$ 마일의 평균 속력을 낼 수 있다. 그의 목표는 철인 3종 경기를 $2$ 시간 안에 끝내는 것이다. 이 목표를 이루려면 $15$ 마일 자전거 구간에서 시속 몇 마일의 평균 속력을 내야 하는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \frac{120}{11}$

(B)

$\ 11$

(C)

$\ \frac{56}{5}$

(D)

$\ \frac{45}{4}$

(E)

$\ 12$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 에릭은 세 구간으로 이루어진 철인 3종 경기를 한다. $\frac{1}{4}$마일 수영을 시속 $2$마일로, $3$마일 달리기를 시속 $6$마일로, 그리고 $15$마일 자전거 타기를 한다. 전체를 정확히 $2$시간 안에 끝내려 한다. 자전거 구간의 평균 속력이 시속 몇 마일이어야 하는지 구하여라.

주어진 것: 수영: $\frac{1}{4}$마일을 시속 $2$마일로; 달리기: $3$마일을 시속 $6$마일로; 자전거: $15$마일을 미지의 속력으로; 세 구간의 시간을 모두 합하면 $2$시간이어야 한다; 선택지: (A) $\frac{120}{11}$, (B) $11$, (C) $\frac{56}{5}$, (D) $\frac{45}{4}$, (E) $12$

구하는 것: $15$마일 자전거 구간에 필요한 평균 속력 (시속 마일)

이해

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #11 거꾸로 풀기

이것은 거리-속력-시간 문제이므로 도구 #8(단위 살펴보기)이 중심이다. 시간 $=$ 거리 $\div$ 속력이라는 관계가 각 구간을 시간(hour) 값으로 바꾸고, 마지막에는 남은 시간을 다시 속력으로 되돌려 준다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 경기를 세 구간으로 나눠 속력을 아는 두 구간을 먼저 재게 해 준다. 도구 #11(거꾸로 풀기)이 마무리다. 완주 시간($2$시간)이 정해져 있으므로, 아는 구간의 시간을 빼서 자전거에 허락된 시간을 알아내고 그 시간에 맞는 속력을 읽어 낸다.

실행 — 정답: A

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 1

시간 예산 규칙 세우기

시간, 거리, 속력은 시간 $=$ 거리 $\div$ 속력으로 묶여 있다.
거리를 마일로, 속력을 시속 마일로 두면 시간이 시간(hour) 단위로 나온다.
세 구간의 시간을 더하면 목표인 $2$시간이 되어야 하므로, 수영과 달리기 시간을 구하면 남는 것이 자전거에게 주어지는 시간이다.

$$\text{시간}=\dfrac{\text{거리}}{\text{속력}},\qquad t_{\text{수영}}+t_{\text{달리기}}+t_{\text{자전거}}=2\text{시간}$$

💡 정해진 완주 시간은 예산과 같아서, 세 구간이 $2$시간을 나눠 쓰므로 앞에서 쓴 시간은 자전거에서 빼 온 시간이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 2

수영과 달리기 시간 재기

속력을 아는 두 구간을 먼저 처리한다.
수영: $\frac{1}{4}$마일을 시속 $2$마일로 가면 $\frac{1}{4}\div 2=\frac{1}{8}$시간이 걸린다.
달리기: $3$마일을 시속 $6$마일로 가면 $3\div 6=\frac{1}{2}$시간이 걸린다.

$$t_{\text{수영}}=\dfrac{1/4}{2}=\dfrac{1}{8}\text{시간},\qquad t_{\text{달리기}}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\text{시간}$$

💡 각 구간은 그 자체로 작은 문제라서, 거리를 속력으로 나누면 걸리는 시간이 나온다.

#11 거꾸로 풀기 5.NF.A.1 단계 3

자전거의 시간 예산 구하기

아는 두 시간을 더한 뒤 목표인 $2$시간에서 빼면 자전거에 허락된 시간이 나온다.
먼저 $\frac{1}{8}+\frac{1}{2}=\frac{1}{8}+\frac{4}{8}=\frac{5}{8}$시간이다.
그러면 자전거는 $2-\frac{5}{8}=\frac{16}{8}-\frac{5}{8}=\frac{11}{8}$시간을 받는다.

$$t_{\text{수영}}+t_{\text{달리기}}=\dfrac{1}{8}+\dfrac{4}{8}=\dfrac{5}{8}\text{시간},\qquad t_{\text{자전거}}=2-\dfrac{5}{8}=\dfrac{11}{8}\text{시간}$$

💡 수영과 달리기가 쓰지 않은 시간은 자전거가 마음껏 쓸 수 있으므로, $2$시간 예산에서 빼면 된다.

#8 단위 살펴보기 6.NS.A.1 단계 4

시간을 다시 속력으로 바꾸기

자전거는 $\frac{11}{8}$시간 안에 $15$마일을 가야 하므로, 속력은 거리를 시간으로 나눈 값이다.
$\frac{11}{8}$로 나누는 것은 $\frac{8}{11}$을 곱하는 것과 같다: $15\div\frac{11}{8}=15\times\frac{8}{11}=\frac{120}{11}$ 시속 마일이다.
이것이 선택지 (A)이다.

$$\text{속력}=\dfrac{15}{\,11/8\,}=15\times\dfrac{8}{11}=\dfrac{120}{11}\text{ 시속 마일}\ \textbf{(A)}$$

💡 속력은 결국 가진 시간에 거리를 나눠 담은 것이므로, 마일을 시간으로 나누면 된다.

[1] #8 6.RP.A.3 시간, 거리, 속력은 시간 $=$ 거리 $\div$ 속력으로 묶여 있다. 거리를 마일로, 속력을 시속 마일로 두면 시간이 시간(hour) 단위로

[2] #7 6.RP.A.3 속력을 아는 두 구간을 먼저 처리한다. 수영: $\frac{1}{4}$마일을 시속 $2$마일로 가면 $\frac{1}{4}\div 2=\frac

[3] #11 5.NF.A.1 아는 두 시간을 더한 뒤 목표인 $2$시간에서 빼면 자전거에 허락된 시간이 나온다. 먼저 $\frac{1}{8}+\frac{1}{2}=\frac

[4] #8 6.NS.A.1 자전거는 $\frac{11}{8}$시간 안에 $15$마일을 가야 하므로, 속력은 거리를 시간으로 나눈 값이다. $\frac{11}{8}$로 나누

검토

합리성 확인: 속력 $\frac{120}{11}$로 전체 시간을 확인하자. 자전거는 $15\div\frac{120}{11}=\frac{15\times 11}{120}=\frac{165}{120}=\frac{11}{8}$시간이 걸리고, $\frac{1}{8}+\frac{1}{2}+\frac{11}{8}=\frac{1}{8}+\frac{4}{8}+\frac{11}{8}=\frac{16}{8}=2$시간으로 목표와 정확히 맞는다. 값 $\frac{120}{11}\approx 10.9$ 시속 마일은 달리기보다 빠르면서도 그럴듯한 자전거 속력이므로 답 (A)가 성립한다.

대안 접근: 따로 속력 공식을 쓰지 않고 $2$시간 예산의 분수만으로 풀 수도 있다. 수영이 $\frac{1}{8}$시간, 달리기가 $\frac{4}{8}$시간을 쓰므로 $\frac{11}{8}$시간이 남는다. $15$마일이 $\frac{11}{8}$시간에 들어가야 하므로 $\frac{8}{11}$을 곱해 한 시간 기준으로 늘리면 한 시간에 $\frac{120}{11}$마일, 곧 필요한 속력이 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (시간 $=$ 거리 $\div$ 속력을 이용해 각 구간을 시간으로 바꾸고, 자전거의 남은 시간을 다시 속력으로 되돌리는 데 사용.)
5.NF.A.1 Add and subtract fractions with unlike denominators ($\frac{1}{8}+\frac{1}{2}=\frac{5}{8}$을 더하고 $2-\frac{5}{8}=\frac{11}{8}$을 빼서 자전거의 시간 예산을 구하는 데 사용.)
6.NS.A.1 Interpret and compute quotients of fractions and solve word problems ($15$마일을 $\frac{11}{8}$시간으로 나누는, 곧 $15\times\frac{8}{11}=\frac{120}{11}$ 계산으로 필요한 자전거 속력을 구하는 데 사용.)

⭐ 정해진 완주 시간은 시간(hour) 예산이다. 잴 수 있는 구간을 재고, 빼서 남는 시간을 알아낸 다음, 마일을 그 시간으로 나누면 속력이 나온다.