AMC 10 · 2009 · #12

학년 6 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Axis-Aligned Figure Area from Coordinates
area-trianglessystematic-enumerationcasework physical-representation ↑ 선수 지식: area-triangles
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
서로 다른 네 점 A, B, C, D가 한 직선 위에 AB=BC=CD=1로 놓여 있습니다. 다른 두 점 E와 F는 이 직선과 평행한 두 번째 직선 위에 EF=1로 놓여 있습니다. 이 여섯 점 중 세 점을 꼭짓점으로 하여 넓이가 양수인 삼각형을 만듭니다. 이 삼각형의 넓이로 가능한 값은 몇 가지입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
3
(B)
4
(C)
5
(D)
6
(E)
7

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

두 평행선을 그려 보면(도구 #1) 숨은 구조가 드러납니다. 모든 삼각형은 한 변이 통째로 한 평행선 위에 놓이고, 세 번째 꼭짓점은 다른 직선 위에 있습니다. 평행선은 어디서나 같은 거리를 유지하므로 이런 삼각형의 높이는 항상 같습니다. 그러면 문제 전체가 '밑변'에 대한 하나의 질문으로 줄어듭니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 밑변을 두 경우(점이 많은 직선 위의 밑변 vs. 점이 둘뿐인 직선 위의 밑변)로 나누고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 서로 다른 밑변 길이를 모두 적으면, 그 길이들이 서로 다른 넓이와 일대일로 대응합니다.

1STEP 1

두 평행선을 그린다

아래 직선에 A,B,C,D를 0,1,2,3에, 위 직선에 E,F를 놓습니다. 위에는 점이 둘뿐이라 모든 삼각형은 두 직선을 다 씁니다.

A,B,C,D=0,1,2,3; E,F 는 위 직선, EF=1; 간격=h
2STEP 2

높이는 언제나 같다

평행선 위의 변을 밑변으로 삼으면 반대쪽 꼭짓점까지 거리는 항상 h이므로, 넓이는 밑변 곱하기 h의 절반입니다.

넓이=1/2 · 밑변 · h, h 는 일정
3STEP 3

밑변을 두 경우로 나눈다

밑변은 아래 직선 위에 있어 길이가 1, 2, 3이거나, 위 직선 위에 있어 EF=1 하나뿐입니다.

아래 밑변∈{|1-0|,|2-0|,|3-0|}={1,2,3}; 위 밑변=EF=1
4STEP 4

서로 다른 넓이를 나열하고 센다

EF=1은 이미 있는 길이와 겹치므로 서로 다른 밑변은 1, 2, 3이고 넓이는 3 가지, 답은 (A)입니다.

넓이={1/2h, h, 3/2h}→ 3가지→(A)
정답
3
위 직선의 밑변(EF=1)은 아래 직선에 이미 있는 밑변(예: AB 같은 단위 간격)과 같으므로 새로운 넓이를 더하지 않습니다 — 개수가 작게 유지된다는 좋은 신호입니다. 어디에도 밑변 길이는 1, 2, 3뿐이어서 넓이는 정확히 3가지 h/2, h, 3h/2입니다. 선택지 (A) 3이 맞으며, 더 큰 선택지는 이 점들 사이에 존재하지 않는 밑변 길이를 필요로 합니다.
💡핵심 정리

모든 삼각형의 한 변이 두 평행선 중 하나 위에 있으면 높이는 절대 바뀌지 않으므로, 서로 다른 넓이를 세는 것은 서로 다른 밑변 길이를 세는 것과 같습니다.

  • 두 평행선을 그린다
  • 높이는 언제나 같다
  • 밑변을 두 경우로 나눈다
  • 서로 다른 넓이를 나열하고 센다

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