AMC 10 · 2009 · #12

학년 6 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Axis-Aligned Figure Area from Coordinates

area-trianglessystematic-enumerationcasework physical-representation ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

서로 다른 점 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ 가 한 직선 위에 있고 $AB=BC=CD=1$ 이다. 점 $E$ 와 $F$ 는 이 직선과 평행한 다른 직선 위에 있고 $EF=1$ 이다. 이 여섯 점 중 세 점을 꼭짓점으로 하는, 넓이가 양수인 삼각형을 생각한다. 이 삼각형의 넓이로 가능한 값은 모두 몇 가지인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 서로 다른 네 점 $A,B,C,D$가 한 직선 위에 $AB=BC=CD=1$로 놓여 있습니다. 나머지 두 점 $E,F$는 이 직선과 평행한 다른 직선 위에 $EF=1$로 놓여 있습니다. 이 $6$개의 점 중 $3$개를 골라 넓이가 양수인 삼각형을 만들 때, 삼각형의 넓이가 될 수 있는 값이 몇 가지인지 세어 보세요.

주어진 것: $A,B,C,D$는 한 직선 위에 $1$씩 일정한 간격으로 있으므로 위치 $0,1,2,3$에 놓을 수 있습니다.; $E,F$는 이 직선과 평행한 두 번째 직선 위에 있고 $EF=1$입니다.; 두 직선 사이의 거리는 일정하며, 이를 $h$라고 합니다.; 삼각형은 $6$개 점 중 $3$개를 골라 만들고 넓이가 양수여야 합니다.; 선택지: (A) $3$, (B) $4$, (C) $5$, (D) $6$, (E) $7$.

구하는 것: 삼각형의 넓이가 될 수 있는 서로 다른 값의 개수.

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #2 빠짐없이 나열하기

두 평행선을 그려 보면(도구 #1) 숨은 구조가 드러납니다. 모든 삼각형은 한 변이 통째로 한 평행선 위에 놓이고, 세 번째 꼭짓점은 다른 직선 위에 있습니다. 평행선은 어디서나 같은 거리를 유지하므로 이런 삼각형의 높이는 항상 같습니다. 그러면 문제 전체가 '밑변'에 대한 하나의 질문으로 줄어듭니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 밑변을 두 경우(점이 많은 직선 위의 밑변 vs. 점이 둘뿐인 직선 위의 밑변)로 나누고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 서로 다른 밑변 길이를 모두 적으면, 그 길이들이 서로 다른 넓이와 일대일로 대응합니다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 4.G.A.1 단계 1

두 평행선을 그린다

아래 직선에 $A,B,C,D$를 위치 $0,1,2,3$에 놓습니다(간격이 $1$이므로).
위 직선에는 $E,F$를 $1$ 간격으로 놓고, 두 직선 사이 간격을 $h$라고 합니다.
삼각형은 한 직선 위에 모두 있지 않은 세 점이 필요합니다.
아래 직선에 $4$개가 몰려 있고 위 직선에는 $2$개뿐이므로, 모든 삼각형은 두 직선에서 점을 나누어 가져와야 합니다.
즉 아래에서 $2$개·위에서 $1$개, 또는 아래에서 $1$개·위에서 $2$개입니다.

$$A,B,C,D=0,1,2,3;\quad E,F \text{는 위 직선},\ EF=1;\quad \text{간격}=h$$

💡 두 평행선을 그리면 한 직선만으로는 삼각형을 만들 수 없다는 것이 곧바로 보이므로, 모든 삼각형은 두 직선에 걸칩니다.

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 2

높이는 언제나 같다

한 평행선 위에 놓인 변을 밑변으로 삼습니다.
그러면 남은 꼭짓점은 다른 평행선 위에 있습니다.
그 꼭짓점에서 밑변이 있는 직선까지의 거리는 두 평행선 사이 간격, 즉 어떤 점을 골랐든 항상 $h$입니다.
그러므로 여기서 만들어지는 모든 삼각형의 높이는 $h$로 같고, 넓이는 $\tfrac{1}{2}\,(\text{밑변})\,h$입니다.
넓이를 바꿀 수 있는 것은 밑변 길이뿐입니다.

$$\text{넓이}=\tfrac{1}{2}\cdot \text{밑변}\cdot h,\qquad h \text{는 일정}$$

💡 평행선은 가까워지지도 멀어지지도 않으므로, 반대편 꼭짓점은 밑변 위에서 항상 같은 높이에 있습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.C.7 단계 3

밑변을 두 경우로 나눈다

밑변이 놓일 수 있는 곳은 두 군데뿐입니다.
경우 1: 밑변이 아래 직선 위에 있고, $0,1,2,3$ 중 두 점을 잇습니다.
길이는 두 위치의 차의 절댓값이므로 $1$, $2$, $3$이 될 수 있습니다.
경우 2: 밑변이 위 직선 위에 있으나, 그 직선에는 점이 $E$와 $F$뿐이므로 밑변은 $EF=1$입니다.

$$\text{아래 밑변}\in\{|1-0|,|2-0|,|3-0|\}=\{1,2,3\};\quad \text{위 밑변}=EF=1$$

💡 밑변을 '어느 직선 위에 있는가'로 쪼개면 어떤 삼각형도 빠뜨리거나 겹치지 않고 담을 수 있습니다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.G.A.1 단계 4

서로 다른 넓이를 나열하고 센다

두 경우에서 나온 밑변 길이를 모읍니다.
아래 직선에서 $\{1,2,3\}$, 위 직선에서 $\{1\}$입니다.
합치면 서로 다른 밑변 길이는 $1$, $2$, $3$입니다.
넓이는 $\tfrac{1}{2}\cdot \text{밑변}\cdot h$이고 $h$가 일정하므로, 밑변이 다르면 넓이도 다릅니다: $\tfrac{h}{2},\ h,\ \tfrac{3h}{2}$.
따라서 가능한 값은 $3$가지이고, 답은 (A)입니다.

$$\text{넓이}=\left\{\tfrac{1}{2}h,\ h,\ \tfrac{3}{2}h\right\}\Rightarrow 3\text{가지}\Rightarrow\textbf{(A)}$$

💡 높이가 고정되면 넓이를 세는 일은 서로 다른 밑변 길이가 몇 개인지 세는 일과 같습니다.

[1] #1 4.G.A.1 아래 직선에 $A,B,C,D$를 위치 $0,1,2,3$에 놓습니다(간격이 $1$이므로). 위 직선에는 $E,F$를 $1$ 간격으로 놓고, 두 직

[2] #1 6.G.A.1 한 평행선 위에 놓인 변을 밑변으로 삼습니다. 그러면 남은 꼭짓점은 다른 평행선 위에 있습니다. 그 꼭짓점에서 밑변이 있는 직선까지의 거리는 두

[3] #7 6.NS.C.7 밑변이 놓일 수 있는 곳은 두 군데뿐입니다. 경우 1: 밑변이 아래 직선 위에 있고, $0,1,2,3$ 중 두 점을 잇습니다. 길이는 두 위치의

[4] #2 6.G.A.1 두 경우에서 나온 밑변 길이를 모읍니다. 아래 직선에서 $\{1,2,3\}$, 위 직선에서 $\{1\}$입니다. 합치면 서로 다른 밑변 길이는

검토

합리성 확인: 위 직선의 밑변($EF=1$)은 아래 직선에 이미 있는 밑변(예: $AB$ 같은 단위 간격)과 같으므로 새로운 넓이를 더하지 않습니다 — 개수가 작게 유지된다는 좋은 신호입니다. 어디에도 밑변 길이는 $1$, $2$, $3$뿐이어서 넓이는 정확히 $3$가지 $\tfrac{h}{2}, h, \tfrac{3h}{2}$입니다. 선택지 (A) $3$이 맞으며, 더 큰 선택지는 이 점들 사이에 존재하지 않는 밑변 길이를 필요로 합니다.

대안 접근: 높이를 따지지 않고, 실제 삼각형을 몇 개 나열해 $h$를 기호로 두고 넓이를 계산할 수도 있습니다. 예: $A,B,E$는 밑변 $1$, 넓이 $\tfrac{h}{2}$; $A,C,E$는 밑변 $2$, 넓이 $h$; $A,D,E$는 밑변 $3$, 넓이 $\tfrac{3h}{2}$; $A,E,F$는 밑변 $1$, 넓이 $\tfrac{h}{2}$(중복). 모든 삼각형이 이 세 넓이 중 하나로 귀결되어 $3$가지임을 확인합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.G.A.1 Draw points, lines, line segments, rays, angles, and identify in figures (두 평행선과 여섯 점의 그림을 그려 모든 삼각형이 두 직선에 걸친다는 것을 파악하는 데 사용.)
6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (넓이 $=\tfrac{1}{2}\cdot\text{밑변}\cdot\text{높이}$에서 높이를 고정해 서로 다른 넓이를 서로 다른 밑변 길이에 대응시키는 데 사용.)
6.NS.C.7 Understand ordering and absolute value of rational numbers (아래 직선의 밑변 길이를 위치 $0,1,2,3$의 차의 절댓값으로 구해 $1,2,3$을 얻는 데 사용.)

⭐ 모든 삼각형의 한 변이 두 평행선 중 하나 위에 있으면 높이는 절대 바뀌지 않으므로, 서로 다른 넓이를 세는 것은 서로 다른 밑변 길이를 세는 것과 같습니다.