AMC 10 · 2009 · #17

학년 6 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Axis-Aligned Figure Area from Coordinates

area-trianglescoordinate-geometrylinear-equations-one-var identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

단위 정사각형 다섯 개를 좌표평면 위에 놓아 왼쪽 아래 꼭짓점이 원점에 오도록 그림과 같은 도형을 만든다. x축 위의 점 (c,0)에서 (3,3)까지 이어지는 기울어진 직선이 이 도형 전체를 넓이가 같은 두 부분으로 나눈다. 이때 c의 값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac12$

(B)

$\frac35$

(C)

$\frac23$

(D)

$\frac34$

(E)

$\frac45$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

색칠된 영역은 계단 모양의 삐뚤빼뚤한 경계를 가져 다루기 까다롭지만, 조각으로 쪼개면 쉬워진다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 핵심이다. 오른쪽 아래에 비어 있는 단위 정사각형 하나를 채우면 색칠된 부분과 그 정사각형이 합쳐져 하나의 깔끔한 삼각형이 되고, 그러면 색칠된 넓이는 (삼각형) 빼기 (정사각형 하나)일 뿐이다. 도구 #1(그림 그리기)로 꼭짓점 좌표를 정확히 읽어 삼각형의 밑변과 높이를 얻는다. 도구 #4(변수 도입하기)로 c를 미지수로 두어 삼각형의 넓이를 c로 나타내고, 넓이가 같다는 조건을 하나의 일차방정식으로 바꾸어 푼다.

1STEP 1

각 영역의 목표 넓이 구하기

단위 정사각형 다섯 개라 전체 넓이는 5이므로, 색칠된 조각을 포함해 각 조각의 넓이는 2.5여야 한다.

전체=5, 각 절반=5/2=2.5

2STEP 2

색칠된 부분을 삼각형으로 완성하기

오른쪽 아래 칸이 비어 있으니 그 칸을 채우면 색칠된 부분은 삼각형 (c,0), (3,0), (3,3)이 되어 색칠 = 삼각형 - 1이다.

색칠=삼각형 ((c,0),(3,0),(3,3))의 넓이-1

3STEP 3

삼각형의 넓이를 c로 나타내기

이 직각삼각형은 x축 위의 밑변이 3-c, 높이가 3이므로 넓이는 1/2(3-c)(3)이다.

삼각형의 넓이=1/2(3-c)(3)

4STEP 4

방정식 세우고 풀기

색칠이 2.5이려면 삼각형은 3.5여야 하므로 3(3-c)=7, 3-c=7/3에서 c=2/3이다. 선택지 (C).

1/2(3-c)(3)=3.5→ 3(3-c)=7→ 3-c=7/3→ c=2/3

정답

2/3

c=2/3을 다시 넣어 본다. 삼각형의 밑변은 3-2/3=7/3, 높이는 3이므로 넓이는 1/2·7/3·3=7/2=3.5이고, 비어 있던 정사각형 하나를 빼면 색칠된 넓이는 2.5로 전체 5의 정확히 절반이다. 또 다른 확인으로, 색칠된 다각형 (2/3,0),(3,3),(3,1),(2,1),(2,0)의 넓이를 신발끈 공식으로 계산해도 2.5가 나와 일치한다. 값 2/3은 0과 3 사이에 있으므로 직선이 실제로 도형의 아래쪽 변에서 시작한다는 점에서도 타당하다.

💡핵심 정리

비어 있는 정사각형을 채워 삐뚤빼뚤한 도형을 깔끔한 삼각형으로 바꾸고, 넓이를 구한 뒤 그 정사각형을 다시 빼면 된다.

각 영역의 목표 넓이 구하기
색칠된 부분을 삼각형으로 완성하기
삼각형의 넓이를 c로 나타내기
방정식 세우고 풀기

각 영역의 목표 넓이 구하기

색칠된 부분을 삼각형으로 완성하기

삼각형의 넓이를 c로 나타내기

방정식 세우고 풀기

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