AMC 10 · 2009 · #17

학년 6 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Axis-Aligned Figure Area from Coordinates

area-trianglescoordinate-geometrylinear-equations-one-var identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

그림과 같이 다섯 개의 단위정사각형이 좌표평면 위에 놓여 있고, 왼쪽 아래 모서리는 원점에 있다. $(c,0)$ 에서 $(3,3)$ 까지 이어지는 기울어진 직선이 전체 영역을 넓이가 같은 두 영역으로 나눈다. $c$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac12$

(B)

$\frac35$

(C)

$\frac23$

(D)

$\frac34$

(E)

$\frac45$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 단위 정사각형 다섯 개를 좌표평면 위에 놓아 왼쪽 아래 꼭짓점이 원점에 오도록 그림과 같은 도형을 만든다. $x$축 위의 점 $(c,0)$에서 $(3,3)$까지 이어지는 기울어진 직선이 이 도형 전체를 넓이가 같은 두 부분으로 나눈다. 이때 $c$의 값을 구하여라.

주어진 것: 도형은 단위 정사각형 다섯 개로 이루어져 있으므로 전체 넓이는 $5$이다.; 그림에서 정사각형들은 칸 $[0,1]\times[0,1]$, $[1,2]\times[0,1]$, $[1,2]\times[1,2]$, $[2,3]\times[1,2]$, $[2,3]\times[2,3]$를 차지한다.; 자르는 직선은 $(c,0)$에서 $(3,3)$까지 이어진다.; 이 직선은 도형을 넓이가 같은 두 부분으로 나눈다.; 선택지: (A) $\frac12$, (B) $\frac35$, (C) $\frac23$, (D) $\frac34$, (E) $\frac45$.

구하는 것: 기울어진 직선이 $x$축과 만나는 $x$좌표 $c$.

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #4 변수 도입하기

색칠된 영역은 계단 모양의 삐뚤빼뚤한 경계를 가져 다루기 까다롭지만, 조각으로 쪼개면 쉬워진다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 핵심이다. 오른쪽 아래에 비어 있는 단위 정사각형 하나를 채우면 색칠된 부분과 그 정사각형이 합쳐져 하나의 깔끔한 삼각형이 되고, 그러면 색칠된 넓이는 (삼각형) 빼기 (정사각형 하나)일 뿐이다. 도구 #1(그림 그리기)로 꼭짓점 좌표를 정확히 읽어 삼각형의 밑변과 높이를 얻는다. 도구 #4(변수 도입하기)로 $c$를 미지수로 두어 삼각형의 넓이를 $c$로 나타내고, 넓이가 같다는 조건을 하나의 일차방정식으로 바꾸어 푼다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 3.MD.C.6 단계 1

각 영역의 목표 넓이 구하기

도형은 단위 정사각형 다섯 개이므로 전체 넓이는 $5$이다.
기울어진 직선이 이를 넓이가 같은 두 조각으로 나누므로 각 조각의 넓이는 $\frac52=2.5$이어야 한다.
특히 색칠된 조각(직선의 오른쪽 아래 부분)의 넓이도 $2.5$가 되어야 한다.

$$\text{전체}=5,\qquad \text{각 절반}=\tfrac{5}{2}=2.5$$

💡 넓이를 절반으로 나누면 각 부분은 정확히 전체의 절반이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.MD.C.7 단계 2

색칠된 부분을 삼각형으로 완성하기

색칠된 영역은 $(c,0)$에서 $(3,3)$으로 가는 직선 아래, 오른쪽은 $x=3$, 아래쪽은 $x$축으로 둘러싸이는데, 홈이 하나 있다.
칸 $[2,3]\times[0,1]$에는 정사각형이 그려져 있지 않아 비어 있기 때문이다.
이 단위 정사각형 하나를 채운다고 상상하면 색칠된 부분과 그것이 합쳐져 꼭짓점이 $(c,0)$, $(3,0)$, $(3,3)$인 완전한 삼각형이 된다.
따라서 색칠된 넓이는 삼각형의 넓이에서 $1$을 뺀 값과 같다.

$$\text{색칠}=\text{삼각형 }\big((c,0),(3,0),(3,3)\big)\text{의 넓이}-1$$

💡 비어 있던 정사각형 하나를 채우면 들쭉날쭉한 경계가 평범한 삼각형으로 펴지고, 넓이는 더할 수 있으므로 다시 빼 주면 된다.

#4 변수 도입하기 6.G.A.1 단계 3

삼각형의 넓이를 c로 나타내기

꼭짓점이 $(c,0)$, $(3,0)$, $(3,3)$인 삼각형은 직각삼각형이다.
밑변은 $x$축 위에서 $x=c$부터 $x=3$까지이므로 밑변의 길이는 $3-c$이다.
높이는 $(3,0)$에서 $(3,3)$까지의 세로 변이므로 $3$이다.
넓이 $=\frac12\cdot\text{밑변}\cdot\text{높이}$를 쓰면 삼각형의 넓이는 $\frac12(3-c)(3)$이다.

$$\text{삼각형의 넓이}=\tfrac12(3-c)(3)$$

💡 직각삼각형은 두 수직인 변으로 만든 직사각형의 딱 절반이다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.7 단계 4

방정식 세우고 풀기

색칠된 넓이는 $2.5$여야 하고 그것은 삼각형에서 $1$을 뺀 값이므로, 삼각형의 넓이는 $3.5$여야 한다.
$\frac12(3-c)(3)=3.5$로 놓는다.
양변에 $2$를 곱하면 $3(3-c)=7$, 따라서 $3-c=\frac73$이다.
그러면 $c=3-\frac73=\frac93-\frac73=\frac23$이다.
이는 선택지 $\textbf{(C)}$와 일치한다.

$$\tfrac12(3-c)(3)=3.5\Rightarrow 3(3-c)=7\Rightarrow 3-c=\tfrac73\Rightarrow c=\tfrac23$$

💡 넓이가 같다는 규칙이 삼각형의 넓이를 정하면, 방정식 하나가 직선의 시작점을 확정한다.

[1] #7 3.MD.C.6 도형은 단위 정사각형 다섯 개이므로 전체 넓이는 $5$이다. 기울어진 직선이 이를 넓이가 같은 두 조각으로 나누므로 각 조각의 넓이는 $\fra

[2] #7 3.MD.C.7 색칠된 영역은 $(c,0)$에서 $(3,3)$으로 가는 직선 아래, 오른쪽은 $x=3$, 아래쪽은 $x$축으로 둘러싸이는데, 홈이 하나 있다.

[3] #4 6.G.A.1 꼭짓점이 $(c,0)$, $(3,0)$, $(3,3)$인 삼각형은 직각삼각형이다. 밑변은 $x$축 위에서 $x=c$부터 $x=3$까지이므로 밑변

[4] #4 6.EE.B.7 색칠된 넓이는 $2.5$여야 하고 그것은 삼각형에서 $1$을 뺀 값이므로, 삼각형의 넓이는 $3.5$여야 한다. $\frac12(3-c)(3)=

검토

합리성 확인: $c=\frac23$을 다시 넣어 본다. 삼각형의 밑변은 $3-\frac23=\frac73$, 높이는 $3$이므로 넓이는 $\frac12\cdot\frac73\cdot3=\frac72=3.5$이고, 비어 있던 정사각형 하나를 빼면 색칠된 넓이는 $2.5$로 전체 $5$의 정확히 절반이다. 또 다른 확인으로, 색칠된 다각형 $(\frac23,0),(3,3),(3,1),(2,1),(2,0)$의 넓이를 신발끈 공식으로 계산해도 $2.5$가 나와 일치한다. 값 $\frac23$은 $0$과 $3$ 사이에 있으므로 직선이 실제로 도형의 아래쪽 변에서 시작한다는 점에서도 타당하다.

대안 접근: 삼각형으로 완성하는 대신, 색칠된 다각형의 꼭짓점 $(c,0),(3,3),(3,1),(2,1),(2,0)$에 신발끈(좌표) 공식을 바로 적용하여 그 넓이를 $2.5$와 같다고 놓고 나오는 일차방정식을 $c$에 대해 풀어도 다시 $c=\frac23$을 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

3.MD.C.6 Measure areas by counting unit squares (전체 넓이를 단위 정사각형 다섯 개 $=5$로 읽고 절반으로 나누어 각 영역의 목표 $2.5$를 구하는 데 사용.)
3.MD.C.7 Relate area to multiplication and addition operations (넓이가 더해진다는 성질을 이용해 색칠된 영역을 완전한 삼각형에서 비어 있는 단위 정사각형 하나를 뺀 것으로 나타내는 데 사용.)
6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (밑변 $3-c$와 높이 $3$으로부터 직각삼각형의 넓이 $\frac12(3-c)(3)$을 계산하는 데 사용.)
6.EE.B.7 Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q ($\frac12(3-c)(3)=3.5$을 풀어 미지의 시작점 $c=\frac23$을 구하는 데 사용.)

⭐ 비어 있는 정사각형을 채워 삐뚤빼뚤한 도형을 깔끔한 삼각형으로 바꾸고, 넓이를 구한 뒤 그 정사각형을 다시 빼면 된다.