AMC 10 · 2009 · #4

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglesarea-rectanglesfraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

직사각형 모양의 마당에 합동인 직각이등변삼각형 모양의 화단 두 개가 있다. 마당의 나머지 부분은 그림과 같이 사다리꼴 모양이다. 사다리꼴의 평행한 두 변의 길이는 각각 $15$ 미터와 $25$ 미터이다. 마당에서 화단이 차지하는 부분은 전체의 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac {1}{8}$

(B)

$\frac {1}{6}$

(C)

$\frac {1}{5}$

(D)

$\frac {1}{4}$

(E)

$\frac {1}{3}$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직사각형 마당 안에 화단 두 개가 있는데, 각각 합동인 직각이등변삼각형이고 위쪽 두 모서리에 놓여 있다. 남은 가운데 부분은 사다리꼴이고, 두 평행한 변의 길이는 $15$ 미터(짧은 위쪽 변)와 $25$ 미터(긴 아래쪽 변)이다. 삼각형 화단 두 개가 마당 전체의 몇 분의 몇을 차지하는지 구하여라.

주어진 것: 마당은 직사각형이고, 화단 두 개는 합동인 직각이등변삼각형이다; 남은 가운데 영역은 평행한 변이 $15$ m와 $25$ m인 사다리꼴이다; 그림에서 긴 변 $25$는 직사각형의 밑변 전체이고, 짧은 변 $15$는 두 삼각형 사이의 위쪽 변이다; 선택지: (A) $\frac{1}{8}$, (B) $\frac{1}{6}$, (C) $\frac{1}{5}$, (D) $\frac{1}{4}$, (E) $\frac{1}{3}$

구하는 것: (화단의 넓이) / (마당 전체의 넓이) 로 나타내는 분수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #17 공간 상상하기, #1 그림 그리기, #3 가능성 지우기

그림이 여러 도형이 합쳐진 모양이므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 세 조각으로 나눈다. 먼저 두 평행 변으로 삼각형의 다리 길이를 구하고, 다음으로 화단 전체 넓이를 구하고, 마지막으로 마당 전체 넓이를 구해서 나눈다. 도구 #17(공간 상상하기)은 핵심 지름길을 준다. 합동인 두 직각삼각형을 붙이면 하나의 정사각형이 되어 넓이가 쉽게 나온다. 도구 #1(그림 그리기)로 다리 길이를 그림에서 바로 읽고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 마지막 분수를 선택지와 맞춰 본다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 4.G.A.2 단계 1

각 삼각형의 다리 구하기

직사각형 위쪽에서 짧은 평행 변($15$)은 두 삼각형 사이에 있고, 아래쪽($25$)은 직사각형의 전체 길이이다.
위쪽 두 다리가 그 차이를 메워야 하므로, $25-15=10$ 미터를 합동인 두 삼각형이 똑같이 나눠 가진다.
따라서 각 위쪽 다리는 $10\div 2 = 5$ 미터이다.
각 삼각형이 직각이등변삼각형이므로 두 다리의 길이가 같아서 세로 다리도 $5$이고, 이 세로 다리가 곧 직사각형의 높이(폭)이다.

$$\text{위쪽 다리} = \dfrac{25-15}{2} = 5,\quad \text{따라서 두 다리 모두} = 5,\quad \text{직사각형 높이} = 5$$

💡 직각이등변삼각형은 두 다리의 길이가 같으므로, 한 다리를 알면 나머지 다리와 마당의 높이까지 알 수 있다.

#17 공간 상상하기 6.G.A.1 단계 2

두 삼각형을 정사각형으로 합치기

두 화단은 합동인 직각이등변삼각형이다.
한 삼각형을 밀고 돌려서 다른 삼각형의 빗변에 맞대면, 둘이 합쳐져 완벽한 $5\times 5$ 정사각형을 채운다.
그래서 삼각형 넓이 두 개를 따로 계산할 필요 없이 이 정사각형의 넓이만 구하면 된다.
$5\times 5 = 25$ 제곱미터가 화단 전체의 넓이이다.

$$\text{화단 전체 넓이} = 5\times 5 = 25 \text{ m}^2$$

💡 합동인 두 직각삼각형을 같은 길이의 다리끼리 붙이면 언제나 정사각형이 되어, 어려운 넓이가 쉬운 넓이로 바뀐다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.A.3 단계 3

마당 전체 넓이 구하기

마당은 직사각형이고, 길이는 긴 변 $25$, 폭은 1단계에서 구한 삼각형 다리 $5$이다.
길이와 폭을 곱하면 전체 넓이가 나온다.

$$\text{마당 넓이} = 25\times 5 = 125 \text{ m}^2$$

💡 직사각형의 넓이는 길이와 폭을 곱한 값이다.

#3 가능성 지우기 4.NF.A.1 단계 4

나누고 약분하기

마당에서 화단이 차지하는 분수는 화단 넓이를 마당 넓이로 나눈 $\dfrac{25}{125}$이다.
두 수 모두 $25$라는 공통 인수를 가지므로 $\dfrac{25}{125}=\dfrac{1}{5}$이다.
선택지를 확인하면 $\dfrac15$은 정확히 (C)이고 다른 선택지는 맞지 않으므로 답은 (C)이다.

$$\dfrac{25}{125} = \dfrac{25}{125} = \dfrac{1}{5}\;\Rightarrow\;\textbf{(C)}$$

💡 분자와 분모를 같은 수로 나누면 분수의 값은 그대로이면서 가장 간단한 꼴로 줄어든다.

[1] #1 4.G.A.2 직사각형 위쪽에서 짧은 평행 변($15$)은 두 삼각형 사이에 있고, 아래쪽($25$)은 직사각형의 전체 길이이다. 위쪽 두 다리가 그 차이를

[2] #17 6.G.A.1 두 화단은 합동인 직각이등변삼각형이다. 한 삼각형을 밀고 돌려서 다른 삼각형의 빗변에 맞대면, 둘이 합쳐져 완벽한 $5\times 5$ 정사각형

[3] #7 4.MD.A.3 마당은 직사각형이고, 길이는 긴 변 $25$, 폭은 1단계에서 구한 삼각형 다리 $5$이다. 길이와 폭을 곱하면 전체 넓이가 나온다.

[4] #3 4.NF.A.1 마당에서 화단이 차지하는 분수는 화단 넓이를 마당 넓이로 나눈 $\dfrac{25}{125}$이다. 두 수 모두 $25$라는 공통 인수를 가지므

검토

합리성 확인: 두 삼각형은 $25\times 5=125$인 마당에서 $5\times 5=25$짜리 조각만 채우므로 화단은 작은 부분이어야 하는데, $\tfrac15 = 0.2$는 작아서 넓은 사다리꼴에 비해 모서리가 얇은 그림과 잘 맞는다. 검산도 통과한다. 사다리꼴 넓이는 $\tfrac12(15+25)\cdot 5 = 100$이고 $100+25 = 125$가 마당 전체와 같으므로 조각들이 정확히 맞아떨어진다.

대안 접근: 사다리꼴을 직접 이용한다. 그 넓이는 $\tfrac12(b_1+b_2)h = \tfrac12(15+25)(5) = 100$이다. 마당 전체가 $125$이므로 화단은 $125-100 = 25$를 차지하고 $\tfrac{25}{125} = \tfrac15$, 같은 (C)가 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.G.A.2 평행선이나 수직선의 유무로 평면 도형 분류하기 (직각이등변삼각형의 성질(두 다리가 같음)을 이용해 두 다리가 모두 $5$이고 직사각형 높이가 $5$임을 밝히기.)
6.G.A.1 합성을 통해 삼각형, 특수 사각형, 다각형의 넓이 구하기 (합동인 두 직각삼각형을 $5\times 5$ 정사각형으로 합쳐 화단 전체 넓이 $25$ 구하기.)
4.MD.A.3 실생활 문제에서 직사각형의 넓이와 둘레 공식 적용하기 (마당 전체 넓이를 길이 곱하기 폭, $25\times 5 = 125$로 계산하기.)
4.NF.A.1 한 분수가 다른 분수와 왜 같은지 설명하기 ($\dfrac{25}{125}$의 분자와 분모를 $25$로 나눠 $\dfrac{1}{5}$로 약분하기.)

⭐ 합동인 두 직각삼각형은 붙이면 정사각형이 되니, 그 정사각형의 넓이를 구해 직사각형 전체와 비교하고 분수를 약분하면 된다.