AMC 10 · 2009 · #7

학년 5 algebra

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Numeric Operation Tree

order-of-operationssystematic-enumeration systematic-enumeration ↑ 선수 지식: order-of-operations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

괄호를 넣는 방법에 따라 식
$2\times3 + 4\times5$
은 여러 가지 값을 가질 수 있다. 얻을 수 있는 서로 다른 값은 모두 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 식 $2\times3+4\times5$ 에는 연산이 세 개 있다. 괄호를 넣으면 어떤 연산을 먼저 하도록 강제할 수 있고, 그러면 결과가 달라질 수 있다. 괄호를 넣는 모든 올바른 방법을 통틀어 이 식이 나타낼 수 있는 서로 다른 값이 몇 개인지 세어라.

주어진 것: 숫자 배열은 $2,\ 3,\ 4,\ 5$ 로 고정되어 있고, 그 사이의 연산은 순서대로 $\times,\ +,\ \times$ 이다; 괄호는 넣을 수 있지만, 숫자와 연산 기호의 순서는 그대로 유지한다; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $6$

구하는 것: 괄호를 넣은 식이 만들어 낼 수 있는 서로 다른 값의 개수

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

'서로 다른 값이 몇 개인가'를 묻는 문제이므로, 가능한 모든 묶음을 나열해 각각 계산하는 것이 가장 확실하다(도구 #2). 네 수를 한 줄로 놓으면 괄호로 완전히 묶는 방법은 정확히 다섯 가지뿐이라, 추측 없이 전부 적을 만큼 작은 집합이다. 그다음 각 묶음은 짧은 계산 문제가 된다(도구 #7). 마지막으로 두 묶음이 같은 값이 될 수 있으므로, 도구 #3(가능성 지우기)으로 중복을 지워 서로 다른 값만 남긴다.

실행 — 정답: C

#2 빠짐없이 나열하기 5.OA.A.1 단계 1

괄호가 무엇을 정하는지 보기

$2\times3+4\times5$ 에는 연산이 세 개 있고, 괄호는 그것들이 실행되는 순서를 정한다.
네 수를 한 줄로 놓으면 괄호로 완전히 묶는 방법은 정확히 다섯 가지이므로, 확인할 식은 다섯 개 — 더도 덜도 아니다.

$$2\times3+4\times5\ \Rightarrow\ 5\text{가지 묶음}$$

💡 괄호는 숫자를 옮기지 않고 어떤 연산을 먼저 할지만 고르므로, 묶음을 나열하면 가능한 모든 결과를 나열하는 셈이다.

#2 빠짐없이 나열하기 5.OA.A.2 단계 2

다섯 가지 묶음 적기

$2\times3+4\times5$ 를 완전히 괄호로 묶는 다섯 가지를 모두 적는다: 왼쪽부터 단계별로 묶거나, 덧셈을 가운데에 두거나, 오른쪽부터 묶는다.
각각을 적어 두면 빠뜨리거나 중복하는 일이 없다.

$$\big((2\times3)+4\big)\times5,\ \ \big(2\times(3+4)\big)\times5,\ \ (2\times3)+(4\times5),\ \ 2\times\big((3+4)\times5\big),\ \ 2\times\big(3+(4\times5)\big)$$

💡 각 묶음을 하나의 식으로 적으면, 막연한 '괄호를 넣어 보기'가 계산할 다섯 개의 확정된 목록으로 바뀐다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.OA.A.1 단계 3

각 묶음 계산하기

각 식을 가장 안쪽 괄호부터 바깥으로 계산한다.
순서대로: $\big((2\times3)+4\big)\times5=(6+4)\times5=50$; $\big(2\times(3+4)\big)\times5=(2\times7)\times5=70$; $(2\times3)+(4\times5)=6+20=26$; $2\times\big((3+4)\times5\big)=2\times35=70$; $2\times\big(3+(4\times5)\big)=2\times23=46$.

$$50,\ \ 70,\ \ 26,\ \ 70,\ \ 46$$

💡 괄호 안을 먼저 계산하는 것은 바로 괄호가 시키는 그대로다.

#3 가능성 지우기 5.OA.A.1 단계 4

서로 다른 값 세기

다섯 결과 $\{50,70,26,70,46\}$ 를 모아 중복을 지운다: 두 번째와 네 번째 묶음이 모두 $70$ 이다.
살아남는 서로 다른 값은 $26,\ 46,\ 50,\ 70$ — 네 개다.
따라서 이 식은 $4$ 가지 다른 값을 가질 수 있고, 이는 선택지 (C) 이다.

$$\{50,70,26,70,46\}\rightarrow\{26,46,50,70\}\Rightarrow 4\ \textbf{(C)}$$

💡 '서로 다른 값'은 각 수를 한 번씩만 세라는 뜻이므로, 같은 결과는 세기 전에 하나로 합쳐야 한다.

[1] #2 5.OA.A.1 $2\times3+4\times5$ 에는 연산이 세 개 있고, 괄호는 그것들이 실행되는 순서를 정한다. 네 수를 한 줄로 놓으면 괄호로 완전히

[2] #2 5.OA.A.2 $2\times3+4\times5$ 를 완전히 괄호로 묶는 다섯 가지를 모두 적는다: 왼쪽부터 단계별로 묶거나, 덧셈을 가운데에 두거나, 오른쪽

[3] #7 5.OA.A.1 각 식을 가장 안쪽 괄호부터 바깥으로 계산한다. 순서대로: $\big((2\times3)+4\big)\times5=(6+4)\times5=50$

[4] #3 5.OA.A.1 다섯 결과 $\{50,70,26,70,46\}$ 를 모아 중복을 지운다: 두 번째와 네 번째 묶음이 모두 $70$ 이다. 살아남는 서로 다른 값

검토

합리성 확인: 두 곱셈 $2\times3$ 과 $4\times5$ 는 묶는 방식에 따라 강제되거나 미뤄질 수 있다. 가장 작은 결과는 두 곱셈을 먼저 하는 $26$ 이고, 가장 큰 결과는 $+$ 를 안쪽에 넣어 모두 곱해지게 하는 $70$ 이다. 살아남은 네 값 $26,46,50,70$ 은 모두 그 범위 안에 있고 분명히 서로 다르므로, $4$ 는 타당하며 선택지 (C) 와 일치한다.

대안 접근: 다섯 묶음을 모두 나열하는 대신, 덧셈이 어디서 일어나는지로 따질 수 있다. $+$ 를 맨 먼저 또는 맨 나중에 하면 두 곱셈은 순서를 바꿔도 결과가 같아 각각 한 값씩 나온다($70$ 과 $26$). 남는 자유는 가운데를 묶는 것뿐이고, 이는 $\big((2\times3)+4\big)\times5=50$ 과 $2\times\big(3+(4\times5)\big)=46$ 을 준다. 즉 서로 다른 값은 $4$ 개이며 (C) 를 확인해 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.OA.A.1 Use parentheses, brackets, or braces in numerical expressions and evaluate (각 괄호가 연산 순서를 어떻게 바꾸는지 읽고, 각 묶음을 안쪽부터 바깥으로 계산하는 데 사용.)
5.OA.A.2 Write simple expressions that record calculations with numbers (다섯 가지 완전한 괄호 묶음을 확인할 별개의 수식으로 적는 데 사용.)
3.OA.C.7 Fluently multiply and divide within 100 (각 묶음 안의 $2\times7=14$, $7\times5=35$, $14\times5=70$ 같은 곱을 계산하는 데 사용.)

⭐ 괄호는 어떤 연산을 먼저 할지만 바꾸므로, 모든 묶음을 나열해 각각 계산하고 실제로 서로 다른 값만 세면 된다.