AMC 10 · 2009 · #7

학년 5 algebra

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Numeric Operation Tree

order-of-operationssystematic-enumeration systematic-enumeration ↑ 선수 지식: order-of-operations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

식 2×3+4×5에는 연산이 세 개 있고, 괄호를 넣으면 어떤 연산을 먼저 하도록 강제할 수 있어 결과가 달라질 수 있다. 숫자와 연산 기호의 순서는 그대로 유지하고 묶는 방식만 바꿀 수 있다. 괄호를 넣는 모든 올바른 방법을 통틀어 이 식이 나타낼 수 있는 서로 다른 값이 몇 개인지 세어라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

'서로 다른 값이 몇 개인가'를 묻는 문제이므로, 가능한 모든 묶음을 나열해 각각 계산하는 것이 가장 확실하다(도구 #2). 네 수를 한 줄로 놓으면 괄호로 완전히 묶는 방법은 정확히 다섯 가지뿐이라, 추측 없이 전부 적을 만큼 작은 집합이다. 그다음 각 묶음은 짧은 계산 문제가 된다(도구 #7). 마지막으로 두 묶음이 같은 값이 될 수 있으므로, 도구 #3(가능성 지우기)으로 중복을 지워 서로 다른 값만 남긴다.

1STEP 1

괄호가 무엇을 정하는지 보기

괄호는 숫자를 옮기지 않고 어떤 연산을 먼저 할지만 정한다. 네 수를 묶는 방법은 정확히 5 가지다.

2×3+4×5 → 5가지 묶음

2STEP 2

다섯 가지 묶음 적기

완전히 괄호로 묶는 방법을 모두 적는다: 왼쪽부터, 덧셈 기준, 오른쪽부터 — 모두 다섯 개다.

((2×3)+4)×5, (2×(3+4))×5, (2×3)+(4×5), 2×((3+4)×5), 2×(3+(4×5))

3STEP 3

각 묶음 계산하기

안쪽 괄호부터 계산하면 (6+4)×5, (2×7)×5, 6+20, 2×35, 2×23은 50, 70, 26, 70, 46이다.

50, 70, 26, 70, 46

4STEP 4

서로 다른 값 세기

두 묶음이 모두 70이므로 서로 다른 값은 26, 46, 50, 70, 즉 4 개다. 선택지 (C)이다.

{50,70,26,70,46}→{26,46,50,70}→ 4 (C)

정답

두 곱셈 2×3과 4×5는 묶는 방식에 따라 강제되거나 미뤄질 수 있다. 가장 작은 결과는 두 곱셈을 먼저 하는 26이고, 가장 큰 결과는 + 를 안쪽에 넣어 모두 곱해지게 하는 70이다. 살아남은 네 값 26,46,50,70은 모두 그 범위 안에 있고 분명히 서로 다르므로, 4는 타당하며 선택지 (C)와 일치한다.

💡핵심 정리

괄호는 어떤 연산을 먼저 할지만 바꾸므로, 모든 묶음을 나열해 각각 계산하고 실제로 서로 다른 값만 세면 된다.

괄호가 무엇을 정하는지 보기
다섯 가지 묶음 적기
각 묶음 계산하기
서로 다른 값 세기

괄호가 무엇을 정하는지 보기

다섯 가지 묶음 적기

각 묶음 계산하기

서로 다른 값 세기

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