AMC 10 · 2011 · #23
학년 6 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
1000개의 수를 일곱 명에게 손으로 돌리는 건 불가능하니, 핵심은 도구 #5(패턴 찾기)입니다 — 한 학생이 버린 수가 어떻게 다음 학생의 목록이 되는지 관찰합니다. 도구 #4(변수 도입하기)가 이 넘겨주기를 깔끔히 잡아냅니다: 첫째 항 a, 공차 d 인 목록은 첫째 항 a+d, 공차 3d 인 목록을 넘겨줍니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 두 갈래로 나눕니다 — 공차가 어떻게 커지는지(3의 거듭제곱)와 시작 수가 어떻게 커지는지(학생마다 덧셈 한 번). 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기): 조지의 바로 다음 수는 이미 1000을 넘어, 하나만 살아남습니다.
앨리스가 남기는 것
앨리스는 각 세 묶음의 가운데를 건너뜁니다: 2, 5, 8, …, 998. 이 목록이 곧 바버라의 것, 간격 3.
한 학생이 버린 수가 그대로 다음 학생이 집어 드는 목록입니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern넘겨주기 규칙을 변수로
첫째 항 a, 간격 d 인 목록은 a+d, a+4d, a+7d, … 를 건너뜁니다 — 첫째 항 a+d, 간격 3d.
두 번째부터 시작해 세 번째마다 건너뛰면 간격이 세 배가 되고 시작이 한 칸 올라갑니다.
6.EE.B.6Introduce A Variable간격이 매번 세 배
앨리스의 간격은 1이고 넘길 때마다 세 배가 되니, 일곱 간격은 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729.
넘길 때마다 간격에 3이 곱해지니, 간격은 곧 3의 거듭제곱입니다.
넘길 때마다 간격이 세 배가 되므로, 간격은 그저 3의 거듭제곱이다.
▸ 왜?
판마다 같은 수를 곱하면 각 간격이 앞 간격의 정해진 배가 된다.
▸ 왜?
한 판 안에서는 수가 여전히 하나의 정해진 걸음으로 나아가며, 그것이 세 배가 된다.
각 시작 수 추적하기
새 시작은 이전 시작에 이전 간격을 더한 값: 1, 2, 5, 14, 41, 122 — 조지의 시작은 365.
새 시작은 이전 시작에 이전 간격을 더한 것 — 학생마다 덧셈 한 번.
4.NBT.B.4Identify Subproblems조지에게 남는 수는 하나
조지의 다음 수 365 + 729 = 1094는 1000을 넘으므로, 그가 말하는 수는 365 하나 — 선택지 (C).
다음 수가 이미 1000을 넘으니, 조지에게는 한 개만 남습니다.
4.NBT.A.2Eliminate Possibilities한 학생이 건너뛴 수가 곧 다음 학생의 목록이 됩니다 — 그리고 넘길 때마다 간격은 세 배(3의 거듭제곱)로 커지고 시작은 간격 하나만큼 올라갑니다. 일곱 명을 따라가면 조지에게 남는 건 365 하나뿐입니다.
- 앨리스가 남기는 것
- 넘겨주기 규칙을 변수로
- 간격이 매번 세 배
- 각 시작 수 추적하기
- 조지에게 남는 수는 하나