AMC 10 · 2011 · #23

학년 6 arithmetic

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Position-in-Cycle Lookup

base-conversionsequences-geometric pattern-recognitionconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: pattern-recognition

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

일곱 명의 학생이 다음과 같은 방식으로 1부터 1000까지 수를 센다.

앨리스는 모든 수를 말하되, 연속한 세 수로 이루어진 각 묶음에서 가운데 수는 건너뛴다. 즉, 앨리스는 1, 3, 4, 6, 7, 9, . . ., 997, 999, 1000을 말한다.

바버라는 앨리스가 말하지 않는 모든 수를 말하되, 마찬가지로 연속한 세 수로 이루어진 각 묶음에서 가운데 수는 건너뛴다.

캔디스는 앨리스와 바버라가 모두 말하지 않는 모든 수를 말하되, 마찬가지로 연속한 세 수로 이루어진 각 묶음에서 가운데 수는 건너뛴다.

데비, 일라이자, 파티마는 각각 자신보다 이름의 알파벳 순서가 앞서는 학생들이 아무도 말하지 않는 모든 수를 말하되, 각자 자신이 만든 연속한 세 수 묶음에서 가운데 수는 건너뛴다.

마지막으로, 조지는 다른 누구도 말하지 않는 단 하나의 수를 말한다.

조지가 말하는 수는 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

242

(C)

365

(D)

728

(E)

998

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 일곱 명의 학생이 알파벳 순서(앨리스부터 조지까지)로 $1$ 부터 $1000$ 까지의 정수를 처리합니다. 자기 차례가 된 학생은 앞선 학생들이 아직 말하지 않은 수만 보고, 그 수들을 연속한 세 개씩 묶어 각 묶음의 가운데 수는 건너뛰고 나머지를 말합니다. 결국 조지는 아무도 말하지 않은 단 하나의 수를 말합니다. 그 수는 무엇일까요?

주어진 것: 수의 범위는 $1$ 부터 $1000$ 까지입니다.; 학생 순서는 알파벳 순: 앨리스, 바버라, 캔디스, 데비, 일라이자, 파티마, 조지.; 각 학생은 앞선 학생이 말하지 않은 수만 보고, 연속한 세 개씩 묶어 각 묶음의 가운데를 건너뜁니다.; 앨리스가 말하는 목록은 $1, 3, 4, 6, 7, 9, \ldots$ 로 시작하므로, 그녀는 $2, 5, 8, \ldots$ 를 건너뜁니다.; 선택지: (A) $37$, (B) $242$, (C) $365$, (D) $728$, (E) $998$.

구하는 것: 조지가 말하는 단 하나의 수.

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

1000개의 수를 일곱 명에게 손으로 돌리는 건 불가능하니, 핵심은 도구 #5(패턴 찾기)입니다 — 한 학생이 버린 수가 어떻게 다음 학생의 목록이 되는지 관찰합니다. 도구 #4(변수 도입하기)가 이 넘겨주기를 깔끔히 잡아냅니다: 첫째 항 $a$, 공차 $d$ 인 목록은 첫째 항 $a+d$, 공차 $3d$ 인 목록을 넘겨줍니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 두 갈래로 나눕니다 — 공차가 어떻게 커지는지(3의 거듭제곱)와 시작 수가 어떻게 커지는지(학생마다 덧셈 한 번). 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기): 조지의 바로 다음 수는 이미 $1000$ 을 넘어, 하나만 살아남습니다.

실행 — 정답: C

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

앨리스가 남기는 것

앨리스는 $1, 2, 3, \ldots, 1000$ 을 보고 각 세 묶음 $(1,2,3), (4,5,6), (7,8,9), \ldots$ 의 가운데를 건너뜁니다.
즉 $2, 5, 8, \ldots, 998$ 을 건너뜁니다.
이 건너뛴 수들이 바로 바버라가 다룰 목록이며, 등차수열을 이룹니다: 첫째 항 $2$, 공차 $3$.

$2,\, 5,\, 8,\, \ldots,\, 998$ — 첫째 항 $2$, 공차 $3$

💡 한 학생이 버린 수가 그대로 다음 학생이 집어 드는 목록입니다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 2

넘겨주기 규칙을 변수로

어떤 학생이 첫째 항 $a$, 공차 $d$ 인 등차수열 $a,\, a+d,\, a+2d,\, a+3d,\, \ldots$ 을 보고 있다고 합시다.
그녀는 1번째, 3번째, 4번째, 6번째, $\ldots$ 항을 말하고 2번째, 5번째, 8번째, $\ldots$ 를 건너뜁니다.
건너뛴 항들은 $a+d,\, a+4d,\, a+7d,\, \ldots$ — 다시 등차수열이며, 이제 첫째 항 $a+d$, 공차 $3d$ 입니다.

$$(a,\, d) \;\longrightarrow\; (a+d,\; 3d)$$

💡 두 번째부터 시작해 세 번째마다 건너뛰면 간격이 세 배가 되고 시작이 한 칸 올라갑니다.

#5 패턴 찾기 6.EE.A.1 단계 3

간격이 매번 세 배

앨리스의 목록은 공차 $d = 1$ 입니다.
규칙에 따라 목록을 넘길 때마다 공차에 $3$ 이 곱해지므로, $n$ 번째 학생은 공차 $d_n = 3^{\,n-1}$ 을 다룹니다.
앨리스부터 조지까지 이 값은 $1, 3, 9, 27, 81, 243, 729$ 입니다.

$$d_1, \ldots, d_7 = 3^0, 3^1, \ldots, 3^6 = 1,\,3,\,9,\,27,\,81,\,243,\,729$$

💡 넘길 때마다 간격에 3이 곱해지니, 간격은 곧 3의 거듭제곱입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 4

각 시작 수 추적하기

시작 수는 $a_{n+1} = a_n + d_n$ 로 갱신됩니다(첫 번째로 건너뛴 항은 이전 시작에 이전 간격을 더한 값).
앨리스의 $a_1 = 1$ 에서 출발: 바버라 $1+1 = 2$, 캔디스 $2+3 = 5$, 데비 $5+9 = 14$, 일라이자 $14+27 = 41$, 파티마 $41+81 = 122$, 조지 $122+243 = 365$.

$$a_1,\ldots,a_7 = 1,\, 2,\, 5,\, 14,\, 41,\, 122,\, 365$$

💡 새 시작은 이전 시작에 이전 간격을 더한 것 — 학생마다 덧셈 한 번.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 5

조지에게 남는 수는 하나

조지는 첫째 항 $365$, 공차 $729$ 를 다루므로 그의 수는 $365,\, 365 + 729 = 1094,\, \ldots$ 가 됩니다.
그런데 $1094 > 1000$ 이므로 범위 안에는 $365$ 만 있습니다.
따라서 조지는 단 하나의 수 $365$ 를 말하고, 이는 선택지 (C) 입니다.

$365,\; 1094,\; \ldots$; $365 \le 1000$ 만 성립 $\;\Rightarrow\; \textbf{(C)}\ 365$

💡 다음 수가 이미 $1000$ 을 넘으니, 조지에게는 한 개만 남습니다.

[1] #5 4.OA.C.5 앨리스는 $1, 2, 3, \ldots, 1000$ 을 보고 각 세 묶음 $(1,2,3), (4,5,6), (7,8,9), \ldots$ 의 가

[2] #4 6.EE.B.6 어떤 학생이 첫째 항 $a$, 공차 $d$ 인 등차수열 $a,\, a+d,\, a+2d,\, a+3d,\, \ldots$ 을 보고 있다고 합시다

[3] #5 6.EE.A.1 앨리스의 목록은 공차 $d = 1$ 입니다. 규칙에 따라 목록을 넘길 때마다 공차에 $3$ 이 곱해지므로, $n$ 번째 학생은 공차 $d_n =

[4] #7 4.NBT.B.4 시작 수는 $a_{n+1} = a_n + d_n$ 로 갱신됩니다(첫 번째로 건너뛴 항은 이전 시작에 이전 간격을 더한 값). 앨리스의 $a_1

[5] #3 4.NBT.A.2 조지는 첫째 항 $365$, 공차 $729$ 를 다루므로 그의 수는 $365,\, 365 + 729 = 1094,\, \ldots$ 가 됩니다.

검토

합리성 확인: 닫힌 식으로 마지막 시작 수를 확인합니다: $a_7 = 1 + (1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243) = 1 + 364 = 365$, 즉 $1 + \frac{3^6 - 1}{2} = 1 + 364 = 365$. 조지만 홀로 하나를 얻는 것도 자연스럽습니다: 앞선 간격 $1, 3, 9, 27, 81, 243$ 은 모두 $1000$ 안에 여러 번 들어가 그 학생들은 많은 수를 말하지만, 조지의 간격 $729$ 는 $1000$ 아래에 단 하나만 허용합니다. 마지막으로 $365$ 는 정확히 선택지 (C) 이고, 오답 $37$, $242$, $728$, $998$ 은 이 수열의 시작 수로 결코 나타나지 않습니다.

대안 접근: 표 대신 닫힌 식을 쓸 수 있습니다. 시작 수는 $a_1 = 1$ 에서 $a_{n+1} = a_n + 3^{\,n-1}$ 이므로 $a_n = 1 + \frac{3^{\,n-1} - 1}{2}$. 조지($n = 7$)는 $a_7 = 1 + \frac{729 - 1}{2} = 1 + 364 = 365$. 3진법 관점도 같은 답을 줍니다: 조지의 수는 여섯 번 연속 "가운데" 건너뛰기를 강제하는 가장 작은 수입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수·도형 패턴을 만들고 그 특징을 찾기 (각 학생이 건너뛴 수가 다음 학생에게 넘겨지는 새 등차수열을 이룬다는 것을 알아채기.)
6.EE.B.6 문제 해결을 위해 변수로 수를 나타내고 식 쓰기 (넘겨주기 규칙을 임의의 첫째 항 $a$, 공차 $d$ 에 대해 $(a, d) \to (a+d,\, 3d)$ 로 추상화하기.)
6.EE.A.1 자연수 지수를 포함한 수식 쓰고 계산하기 (일곱 개의 공차를 3의 거듭제곱 $d_n = 3^{\,n-1}$ 로 표현하기.)
4.NBT.B.4 여러 자리 자연수를 표준 알고리즘으로 능숙하게 더하고 빼기 (각 시작 수 $a_{n+1} = a_n + d_n$ 를 $122 + 243 = 365$ 까지 계산하기.)
4.NBT.A.2 각 자리값의 의미로 여러 자리 수 두 개 비교하기 (조지의 다음 수 $1094$ 가 $1000$ 을 넘는지 확인해 $365$ 만 남김을 판단하기.)

⭐ 한 학생이 건너뛴 수가 곧 다음 학생의 목록이 됩니다 — 그리고 넘길 때마다 간격은 세 배(3의 거듭제곱)로 커지고 시작은 간격 하나만큼 올라갑니다. 일곱 명을 따라가면 조지에게 남는 건 $365$ 하나뿐입니다.