AMC 10 · 2011 · #11

학년 6 arithmetic

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Floor Count Across Residue Bins

pigeonhole-principlefloor-function extremal-construction ↑ 선수 지식: floor-function

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 방에 52명이 있고, 각 사람의 생일은 한 해 12개월 중 한 달에 속한다. "이 방에서 같은 달에 태어난 사람이 적어도 n명 있다"는 문장이 생일이 어떻게 분포하든 항상 참이어야 한다. 이러한 n의 최댓값을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 극단의 원리

"어떤 경우에도 보장된다"는 도구 #14(극단의 원리)의 신호다. 모든 달을 최대한 적게 유지하려고 애쓰는 분포를 상상하고, 그런 경우에도 가장 붐비는 달이 어쩔 수 없이 도달하는 인원을 살핀다. 가장 공평한 분배는 사람을 달마다 최대한 고르게 나누어 찾는다. 이어서 도구 #3(가능성 지우기)으로, 가장 붐비는 달이 정확히 이 값인 분포가 실제로 존재함을 보여 그보다 큰 값은 보장될 수 없음을 확정한다.

1STEP 1

가장 공평한 분배를 목표로

문장에 가장 강하게 맞서는 분포, 즉 생일 52개를 12개월에 최대한 고르게 펼친 경우를 떠올린다.

52 명 ⟶ 12 개월에 최대한 고르게

2STEP 2

사람을 달마다 나누기

52를 12로 나누면 각 달이 4명씩 가져 12 × 4 = 48명을 쓰고, 4명이 남는다.

52 ÷ 12 = 4 나머지 4 (12 × 4 = 48, 52 - 48 = 4)

3STEP 3

남은 사람 배치하기

남은 사람이 각각 어떤 달을 4명에서 5명으로 올리므로, 가장 공평한 분배에서도 어떤 달은 적어도 5명이 된다.

4 개월 → 5 명, 8 개월 → 4 명

4STEP 4

6은 강제되지 않음을 확인

그러나 8 × 4 + 4 × 5 = 52인 분배는 가장 붐비는 달이 5명뿐이라 6은 강제되지 않는다. 답은 5, 선택지 (D)다.

8 × 4 + 4 × 5 = 32 + 20 = 52 → max = 5 → (D)

정답

한 달당 평균 인원은 52 ÷ 12 ≈ 4.3명이므로 가장 붐비는 달은 적어도 그다음 자연수인 5명이어야 한다. 답과 일치한다. 선택지도 이를 자연스럽게 감싼다. 2, 3, 4는 보장할 수 있는 최댓값이라기엔 너무 약하고, 12는 각 달에 12명씩 들어가려면 최소 52명보다 훨씬 많아야 하므로 불가능하다.

💡핵심 정리

최대한 고르게 나눠도 남는 것들이 가장 꽉 찬 칸을 위로 밀어 올린다. 그래서 52명을 12개월에 나누면 언제나 어떤 달에 5명이 몰린다.

가장 공평한 분배를 목표로
사람을 달마다 나누기
남은 사람 배치하기
6은 강제되지 않음을 확인

가장 공평한 분배를 목표로

사람을 달마다 나누기

남은 사람 배치하기

6은 강제되지 않음을 확인

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