AMC 10 · 2011 · #2

학년 6 arithmetic

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

mean-median-mode-rangelinear-equations-one-var work-backwards ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

조산나가 지금까지 본 시험 점수는 $90, 80, 70, 60,$ 그리고 $85$ 이다. 그녀의 목표는 다음 시험에서 시험 평균을 적어도 $3$ 점 올리는 것이다. 이 목표를 달성하기 위해 그녀가 받아야 하는 최소 시험 점수는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 조산나의 시험 점수는 $90, 80, 70, 60,$ 그리고 $85$점, 이렇게 다섯 개다. 시험을 한 번 더 본 뒤의 평균이 지금 평균보다 적어도 $3$점 높아지길 원한다. 이 목표를 이루는 데 필요한 다음 시험의 가장 낮은 점수를 구하라.

주어진 것: 지금까지의 점수: $90, 80, 70, 60, 85$ (다섯 번의 시험); 시험을 한 번 더 보므로 모두 여섯 번의 시험이 된다; 새로운 여섯 번 평균은 지금 다섯 번 평균보다 적어도 $3$점 높아야 한다; 선택지: (A) $80$, (B) $82$, (C) $85$, (D) $90$, (E) $95$

구하는 것: 평균을 적어도 $3$점 올리는 데 필요한 여섯 번째 시험의 최소 점수

이해

계획

주요 도구: #11 거꾸로 풀기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

목표가 최종 평균으로 주어져 있고, 우리는 빠진 한 점수를 되찾아야 한다. 도구 #11(거꾸로 풀기)은 평균 공식을 거꾸로 돌린다. 목표 평균에서 출발해 여섯 번의 시험이 도달해야 할 총합을 구하고, 이미 가진 점수를 뺀다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 지금 평균 구하기, 목표 총합 구하기, 필요한 점수 구하기로 일을 나눈다. 도구 #3(가능성 지우기)은 선택지를 이용해 $95$보다 낮은 값은 모두 목표에 못 미침을 확인한다.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.B.5 단계 1

지금 평균 구하기

다섯 점수를 더한 뒤 $5$로 나눈다.
$90+80+70+60+85 = 385$이고 $385\div5 = 77$이다.
따라서 지금 평균은 $77$점이다.

$$\dfrac{90+80+70+60+85}{5}=\dfrac{385}{5}=77$$

💡 평균은 총합을 모든 시험에 똑같이 나눠 준 값일 뿐이다.

#11 거꾸로 풀기 6.EE.B.5 단계 2

목표 평균 정하기

평균을 적어도 $3$점 올린다는 것은 새 평균이 적어도 $77+3=80$이어야 한다는 뜻이다.
다음 점수를 가장 낮게 하려면 정확히 $80$을 목표로 삼는다.

$$77+3=80$$

💡 가장 낮은 합격 점수는 목표를 넘기지 않고 딱 맞출 때 나온다.

#11 거꾸로 풀기 6.SP.B.5 단계 3

거꾸로 여섯 번 총합 구하기

다음 시험까지 치르면 시험이 $6$번이다.
이 여섯 번의 평균이 $80$이 되려면 여섯 점수의 합이 $80\times6=480$이어야 한다.
이것이 도달해야 할 총합이다.

$$80\times6=480$$

💡 여섯 번 평균이 $80$이어야 한다면 점수는 $80$이 여섯 번 쌓인 만큼 필요하다.

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 4

빼서 필요한 점수 구하기

다섯 번 시험으로 이미 $385$점을 가지고 있다.
여섯 번째 점수는 $480$까지의 차이를 메워야 한다.
$480-385=95$이다.
"적어도 $3$점"은 더 높아도 되므로 $95$점 이상이면 모두 되고, 따라서 최소는 $95$점, 즉 선택지 (E)다.
더 낮은 $80, 82, 85, 90$은 모두 여섯 번 총합을 $480$ 아래로 만들어 목표에 미치지 못한다.

$$480-385=95\;\Rightarrow\;\textbf{(E)}$$

💡 빠진 점수는 지금 가진 것과 필요한 총합 사이의 남은 거리와 정확히 같다.

[1] #7 6.SP.B.5 다섯 점수를 더한 뒤 $5$로 나눈다. $90+80+70+60+85 = 385$이고 $385\div5 = 77$이다. 따라서 지금 평균은 $77

[2] #11 6.EE.B.5 평균을 적어도 $3$점 올린다는 것은 새 평균이 적어도 $77+3=80$이어야 한다는 뜻이다. 다음 점수를 가장 낮게 하려면 정확히 $80$을

[3] #11 6.SP.B.5 다음 시험까지 치르면 시험이 $6$번이다. 이 여섯 번의 평균이 $80$이 되려면 여섯 점수의 합이 $80\times6=480$이어야 한다. 이

[4] #3 4.OA.A.3 다섯 번 시험으로 이미 $385$점을 가지고 있다. 여섯 번째 점수는 $480$까지의 차이를 메워야 한다. $480-385=95$이다. "적어도

검토

합리성 확인: 이긴 점수를 바로 확인해 보자. $95$점이면 여섯 점수의 합은 $385+95=480$이고 $480\div6=80$으로, 정확히 $77+3$이다. 평균이 $3$점 올랐다. 바로 아래 선택지 $90$을 넣으면 총합은 $475$, 평균은 $475\div6\approx79.2$로 약 $2.2$점만 올라 목표에 못 미친다. 그러므로 $95$가 목표를 이루는 가장 낮은 점수이며 (E)가 맞다.

대안 접근: 변수를 도입한다. 다음 점수를 $x$라 하고 $\dfrac{385+x}{6}\ge 80$을 요구한다. 양변에 $6$을 곱하면 $385+x\ge 480$, 즉 $x\ge 95$이다. 이를 만족하는 가장 작은 정수는 $95$로 같은 답 (E)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.SP.B.5 수 데이터 집합을 맥락 속에서 요약하기(평균 같은 중심 측도 포함) (다섯 점수의 지금 평균을 구하고, 목표 평균을 여섯 번 총합으로 바꾸는 데 사용.)
6.EE.B.5 부등식 풀이를 어떤 값이 참이 되게 하는지 찾는 과정으로 이해하기 ("평균을 적어도 3점 올린다"를 최소 조건으로 읽고 정확한 경계값을 목표로 삼는 데 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용해 여러 단계의 문장제 풀기 (필요한 총합에서 지금 총합을 빼서 빠진 여섯 번째 점수를 구하는 데 사용.)

⭐ 빠진 한 점수로 목표 평균을 맞추려면, 모든 시험이 도달해야 할 총합을 먼저 구하고 이미 가진 점수를 빼면 된다.