경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 10 · 2011B · #23
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AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
2011²⁰¹¹은 엄청나게 크지만, 문제는 오른쪽 끝 근처의 한 자리만 묻는다. 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기)로 이 거인을 작게 만든다: 백의 자리는 마지막 세 자리로 정해지고, 곱의 마지막 세 자리는 인수의 마지막 세 자리에만 의존하므로 2011²⁰¹¹과 11²⁰¹¹은 마지막 세 자리가 같다. 이제 11²⁰¹¹ mod 1000만 구하면 된다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 이를 연다: 11 = 10 + 1로 쓰고 (10+1)²⁰¹¹을 전개하면 거의 모든 항이 1000의 배수라 사라지고, 계산할 조각은 셋뿐이다. 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)로 그 세 조각을 더한다. 도구 #5 (패턴 찾기)로 독립적인 검산을 한다.
거인을 마지막 세 자리로 줄이기
받아올림은 왼쪽으로만 가고 2011은 011로 끝나므로, 2011²⁰¹¹과 11²⁰¹¹은 마지막 세 자리가 같다.
받아올림은 왼쪽으로만 가므로, 멀리 있는 높은 자리는 백의 자리를 건드리지 못한다.
5.NBT.A.1Solve An Easier Related Problem11을 10 + 1로 다시 쓰기
(10+1)²⁰¹¹을 전개하면, 10을 셋 이상 쓴 항은 10³ = 1000을 품어 사라지고 0·1·2개짜리만 남는다.
1000 이상의 10의 거듭제곱은 모듈로 1000에서 보이지 않으므로, 낮은 거듭제곱만 중요하다.
백의 자리를 넘는 10의 거듭제곱은 마지막 세 자리에 보이지 않는다.
▸ 왜?
수는 자릿수에 자리의 무게를 곱한 것이므로, 높은 자리는 낮은 자리를 건드리지 않는다.
▸ 왜?
그 높은 항은 1000의 배수이므로, 나머지를 건드리지 않는다.
살아남는 세 조각만 남기기
남는 항: 1, 그리고 2011 × 10 = 20110에서 110, 100이 (2011×2010)/2 = 2021055개라 500.
거듭제곱 전개는 정리된 세기일 뿐이다: 십이 없는 항 하나, 십이 하나인 항 n개, 십이 둘인 항은 인수의 '쌍'.
6.EE.A.3Identify Subproblems조각을 더해 자리 읽기
모듈로 1000으로 더하면 1 + 110 + 500 = 611, 백의 자리는 6, 선택지 (D)이다.
작은 수 셋을 더하면 611; 가운데 자리가 답이다.
4.NBT.B.4Make A Systematic List독립적인 방법으로 검산하기
모듈로 1000 반복 제곱도 같다: 11² ≡ 121, 11⁴ ≡ 641, 11⁸ ≡ 881, 이를 결합해도 611.
다른 길로도 같은 611에 도착하면 계산 실수 가능성이 매우 낮아진다.
4.OA.C.5Look For A Pattern2011²⁰¹¹의 백의 자리는 마지막 세 자리만 빼고 다 버리면 된다: 2011은 11이 되고, (10+1)²⁰¹¹을 전개하면 조각 셋만 남아 1 + 110 + 500 = 611 — 그래서 백의 자리는 6이다.
- 거인을 마지막 세 자리로 줄이기
- 11을 10 + 1로 다시 쓰기
- 살아남는 세 조각만 남기기
- 조각을 더해 자리 읽기
- 독립적인 방법으로 검산하기
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