AMC 10 · 2012 · #13
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AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
가장 큰 값과 가장 작은 값을 묻고 있으니 이것은 최대·최소 문제이다 — 도구 #14 (극단의 원리)가 중심축이다. 하지만 각 자리가 실제로 얼마나 반영되는지 알기 전에는 순서를 비교할 수 없다. 그래서 먼저 도구 #4 (변수 도입하기)로 선택한 순서를 a,b,c,d,e라 부르고 평균의 사슬을 적는다. 그다음 도구 #5 (패턴 찾기)로 겹겹이 쌓인 평균을 풀어 각 자리에 고정된 가중치를 드러낸다. 가중치가 드러나면 도구 #14로 극단이 분명해진다 — 합을 최대로 하려면 가장 큰 수를 가장 무거운 자리에 놓고, 최소로 하려면 그 반대로 한다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 마무리를 깔끔하게 한다: 최댓값을 구하고, 최솟값을 구하고, 뺀다.
순서에 이름을 붙이고 평균을 잇는다
선택한 순서를 a, b, c, d, e라 하자. 첫 평균은 (a+b)/2, 그다음부터는 지금 값과 다음 수의 평균을 낸다.
순서에 문자로 이름을 붙이면 막연한 "어떤 배열"이 밀어붙일 수 있는 정확한 식으로 바뀐다.
6.SP.A.3Introduce A Variable겹친 평균을 자리별 가중치로 풀기
각 평균을 다음에 대입하면 앞의 것이 또 반이 되어, 다섯 자리의 가중치는 16분의 1, 1, 2, 4, 8이 된다.
마지막에 들어온 수는 다시 반으로 줄지 않으므로 뒷자리일수록 훨씬 무겁다 — 가중치는 뒤로 갈수록 두 배씩 커진다: 1,1,2,4,8.
마지막에 섞인 수는 다시 반으로 나뉘지 않으므로, 뒤쪽 자리가 훨씬 무겁다.
▸ 왜?
앞쪽 자리일수록 반으로 나뉘는 일을 한 번 더 겪으므로, 무게가 일정한 배율로 달라진다.
▸ 왜?
각 평균은 두 입력을 똑같이 나누며, 그 반으로 나뉨이 모두 거기서 온다.
가장 무거운 자리에 가장 큰 수를
극단의 원리: 가장 큰 수를 가장 무거운 자리에 — 8, 4, 2에 5, 4, 3을 — 놓으면 최댓값은 65/16이다.
곱하는 수가 클수록 한 단위가 더 크게 반영되니, 가장 큰 값은 가장 무거운 가중치에 써라.
6.NS.C.7Extreme Principle최솟값은 반대로
가중치는 그대로, 배치만 반대로: 8, 4, 2에 1, 2, 3을 놓으면 최솟값은 31/16이다.
배치를 뒤집으면 가장 작은 값이 가장 무거운 자리로 가서 가중평균을 최대한 아래로 끌어내린다.
6.NS.C.7Extreme Principle빼서 차를 구하기
분모가 둘 다 16이니 차는 65/16 - 31/16 = 34/16 = 17/8, 즉 (C)이다.
분모가 같으면 차는 분자의 차를 16으로 나눈 것일 뿐, 그다음 약분하면 된다.
5.NF.A.1Identify Subproblems이 사슬형 평균은 사실 마지막 수가 가장 크게 반영되는 가중평균이다: 자리 가중치는 16분의 1,1,2,4,8이다. 최댓값은 가장 큰 수를 가장 무거운 자리에(65/16), 최솟값은 반대로(31/16), 그 차는 17/8이다.
- 순서에 이름을 붙이고 평균을 잇는다
- 겹친 평균을 자리별 가중치로 풀기
- 가장 무거운 자리에 가장 큰 수를
- 최솟값은 반대로
- 빼서 차를 구하기