AMC 10 · 2012 · #13

학년 6 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

weighted-averagesequences-geometricoptimization extremal-constructionconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticmean-median-mode-range

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

숫자 1, 2, 3, 4, 5의 반복 평균을 다음과 같은 방법으로 계산한다. 다섯 개의 수를 어떤 순서로 배열한다. 먼저 처음 두 수의 평균을 구하고, 그다음 그 값과 세 번째 수의 평균을 구하고, 이어서 그 값과 네 번째 수의 평균을 구하고, 마지막으로 그 값과 다섯 번째 수의 평균을 구한다. 이 절차로 얻을 수 있는 가장 큰 값과 가장 작은 값의 차이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{31}{16}$

(B)

(C)

$\frac{17}{8}$

(D)

(E)

$\frac{65}{16}$

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1, 2, 3, 4, 5$ 다섯 개의 수를 어떤 순서로 한 줄로 놓는다. 먼저 앞의 두 수의 평균을 구하고, 그 값과 세 번째 수의 평균, 다시 그 값과 네 번째 수의 평균, 마지막으로 그 값과 다섯 번째 수의 평균을 구한다. 순서를 바꾸면 마지막 값도 달라진다. 나올 수 있는 가장 큰 값과 가장 작은 값의 차를 구하라.

주어진 것: 사용하는 수는 $1, 2, 3, 4, 5$ 다섯 개이고 각각 한 번씩만 쓴다; 두 수의 "평균"은 $\frac{x+y}{2}$를 뜻한다; 평균 내기는 사슬처럼 이어진다: 앞의 두 수 → 세 번째 → 네 번째 → 다섯 번째를 차례로 끌어들인다; 다섯 수를 어느 자리에 놓을지는 우리가 정한다; 선택지: (A) $\frac{31}{16}$, (B) $2$, (C) $\frac{17}{8}$, (D) $3$, (E) $\frac{65}{16}$

구하는 것: (가장 큰 마지막 값) $-$ (가장 작은 마지막 값)

이해

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #4 변수 도입하기, #5 패턴 찾기, #7 작은 문제로 쪼개기

가장 큰 값과 가장 작은 값을 묻고 있으니 이것은 최대·최소 문제이다 — 도구 #14 (극단의 원리)가 중심축이다. 하지만 각 자리가 실제로 얼마나 반영되는지 알기 전에는 순서를 비교할 수 없다. 그래서 먼저 도구 #4 (변수 도입하기)로 선택한 순서를 $a,b,c,d,e$라 부르고 평균의 사슬을 적는다. 그다음 도구 #5 (패턴 찾기)로 겹겹이 쌓인 평균을 풀어 각 자리에 고정된 가중치를 드러낸다. 가중치가 드러나면 도구 #14로 극단이 분명해진다 — 합을 최대로 하려면 가장 큰 수를 가장 무거운 자리에 놓고, 최소로 하려면 그 반대로 한다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 마무리를 깔끔하게 한다: 최댓값을 구하고, 최솟값을 구하고, 뺀다.

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 6.SP.A.3 단계 1

순서에 이름을 붙이고 평균을 잇는다

선택한 순서를 $a, b, c, d, e$라 하자.
절차는 네 개의 이어지는 평균을 만든다.
두 수의 평균은 더해서 반으로 나누는 것이다.
차례로 적으면: 처음 두 수의 평균은 $m_1=\frac{a+b}{2}$, 이어서 $m_2=\frac{m_1+c}{2}$, $m_3=\frac{m_2+d}{2}$, 마지막으로 $m_4=\frac{m_3+e}{2}$이며, 이 $m_4$가 절차가 돌려주는 값이다.

$$m_1=\dfrac{a+b}{2},\quad m_2=\dfrac{m_1+c}{2},\quad m_3=\dfrac{m_2+d}{2},\quad m_4=\dfrac{m_3+e}{2}$$

💡 순서에 문자로 이름을 붙이면 막연한 "어떤 배열"이 밀어붙일 수 있는 정확한 식으로 바뀐다.

#5 패턴 찾기 5.NF.B.4 단계 2

겹친 평균을 자리별 가중치로 풀기

각 평균을 다음 식에 대입한다.
새 수를 끌어들일 때마다 이미 쌓인 모든 것이 다시 반으로 줄고, 새 수는 절반으로 들어온다.
그래서 $m_2=\frac{a+b}{4}+\frac{c}{2}$, $m_3=\frac{a+b}{8}+\frac{c}{4}+\frac{d}{2}$, 마지막으로 $m_4=\frac{a+b}{16}+\frac{c}{8}+\frac{d}{4}+\frac{e}{2}$이다.
계수를 읽으면 다섯 자리의 가중치는 $\frac{1}{16},\frac{1}{16},\frac{2}{16},\frac{4}{16},\frac{8}{16}$이고, 이들의 합은 $1$이다 — 가중평균이라면 마땅히 그래야 한다.

$$m_4=\dfrac{a}{16}+\dfrac{b}{16}+\dfrac{c}{8}+\dfrac{d}{4}+\dfrac{e}{2}\;=\;\dfrac{1\cdot a+1\cdot b+2\cdot c+4\cdot d+8\cdot e}{16}$$

💡 마지막에 들어온 수는 다시 반으로 줄지 않으므로 뒷자리일수록 훨씬 무겁다 — 가중치는 뒤로 갈수록 두 배씩 커진다: $1,1,2,4,8$.

#14 극단의 원리 6.NS.C.7 단계 3

가장 무거운 자리에 가장 큰 수를

도구 #14 (극단의 원리): 총합은 고정된 가중치 $1,1,2,4,8$로 $\frac{1a+1b+2c+4d+8e}{16}$이다.
이를 최대로 하려면 가장 큰 수를 가장 무거운 자리에 준다.
$5$를 가중치 $8$ 자리($e$)에, $4$를 가중치 $4$ 자리($d$)에, $3$을 가중치 $2$ 자리($c$)에 놓고, $1,2$를 가중치 $1$인 두 자리에 놓는다(이 둘의 순서는 상관없다).

$$\text{최대}=\dfrac{1\cdot1+1\cdot2+2\cdot3+4\cdot4+8\cdot5}{16}=\dfrac{1+2+6+16+40}{16}=\dfrac{65}{16}$$

💡 곱하는 수가 클수록 한 단위가 더 크게 반영되니, 가장 큰 값은 가장 무거운 가중치에 써라.

#14 극단의 원리 6.NS.C.7 단계 4

최솟값은 반대로

같은 가중치, 반대 배치이다.
총합을 최소로 하려면 가장 작은 수를 가장 무거운 자리에 준다: $1$을 가중치 $8$ 자리($e$)에, $2$를 가중치 $4$ 자리($d$)에, $3$을 가중치 $2$ 자리($c$)에 놓고, $4,5$를 가중치 $1$인 두 자리에 놓는다.

$$\text{최소}=\dfrac{1\cdot4+1\cdot5+2\cdot3+4\cdot2+8\cdot1}{16}=\dfrac{4+5+6+8+8}{16}=\dfrac{31}{16}$$

💡 배치를 뒤집으면 가장 작은 값이 가장 무거운 자리로 가서 가중평균을 최대한 아래로 끌어내린다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 5

빼서 차를 구하기

나올 수 있는 가장 큰 값과 가장 작은 값은 $\frac{65}{16}$과 $\frac{31}{16}$이다.
분모가 이미 $16$으로 같으니 분자를 빼고 약분한다.
차는 $\frac{34}{16}=\frac{17}{8}$이고, 이는 선택지 (C)이다.

$$\dfrac{65}{16}-\dfrac{31}{16}=\dfrac{34}{16}=\dfrac{17}{8}\;\Rightarrow\;\textbf{(C)}$$

💡 분모가 같으면 차는 분자의 차를 $16$으로 나눈 것일 뿐, 그다음 약분하면 된다.

[1] #4 6.SP.A.3 선택한 순서를 $a, b, c, d, e$라 하자. 절차는 네 개의 이어지는 평균을 만든다. 두 수의 평균은 더해서 반으로 나누는 것이다. 차례

[2] #5 5.NF.B.4 각 평균을 다음 식에 대입한다. 새 수를 끌어들일 때마다 이미 쌓인 모든 것이 다시 반으로 줄고, 새 수는 절반으로 들어온다. 그래서 $m_2=

[3] #14 6.NS.C.7 도구 #14 (극단의 원리): 총합은 고정된 가중치 $1,1,2,4,8$로 $\frac{1a+1b+2c+4d+8e}{16}$이다. 이를 최대로

[4] #14 6.NS.C.7 같은 가중치, 반대 배치이다. 총합을 최소로 하려면 가장 작은 수를 가장 무거운 자리에 준다: $1$을 가중치 $8$ 자리($e$)에, $2$를

[5] #7 5.NF.A.1 나올 수 있는 가장 큰 값과 가장 작은 값은 $\frac{65}{16}$과 $\frac{31}{16}$이다. 분모가 이미 $16$으로 같으니 분

검토

합리성 확인: 가중치 검산: $\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{2}{16}+\frac{4}{16}+\frac{8}{16}=\frac{16}{16}=1$이므로 $m_4$는 진짜 가중평균이고 $1$과 $5$ 사이에 있어야 한다 — $\frac{65}{16}\approx4.06$과 $\frac{31}{16}\approx1.94$ 모두 그렇다. 최댓값은 $5$가 가장 무거운 자리에 있어서 $4$ 근처로 높게 당겨지고, 최솟값은 $1$이 그 자리에 있어서 $2$ 근처로 낮게 당겨진다 — 예상한 방향과 정확히 일치한다. 차 $\frac{17}{8}=2.125$는 전체 폭 $5-1=4$보다 넉넉히 작은데, 가중치 $1$짜리 두 자리가 극단을 완화하기 때문이다.

대안 접근: 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)로 확인: 극단에는 마지막 세 자리(가중치 $2,4,8$)만 중요하다. 가중치 $1$짜리 두 자리는 남은 두 수를 항상 흡수하기 때문이다. 최댓값의 경우 $e=5$와 $e=4$를 직접 비교하면 $e=5$가 $\frac{8}{16}$만큼 이기고, 같은 논리를 이어가면 $d=4$, $c=3$이 정해져 대수 없이 $\frac{65}{16}$을 확인한다. 대칭으로 $\frac{31}{16}$도 확인되고, 차는 다시 $\frac{17}{8}$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.SP.A.3 Recognize that a measure of center summarizes all its values with a single number (절차를 반복되는 평균으로 읽고 — 두 수의 평균은 $\frac{x+y}{2}$ — 자리에 이름 $a,b,c,d,e$를 붙여 그 평균들을 사슬로 잇는 데 사용.)
5.NF.B.4 Apply and extend understanding of multiplication to multiply a fraction by a fraction (겹친 평균을 풀 때 각 단계가 지금까지 쌓인 모든 것을 반으로 줄이는 과정을 통해 고정 가중치 $\frac{1}{16},\frac{1}{16},\frac{2}{16},\frac{4}{16},\frac{8}{16}$을 드러내는 데 사용.)
6.NS.C.7 Understand ordering and absolute value of rational numbers (극단의 원리 적용: 자리 가중치를 순서대로 놓고 최대에는 가장 큰 수를 가장 무거운 자리에, 최소에는 반대로 짝지어 놓는 데 사용.)
5.NF.A.1 Add and subtract fractions with unlike denominators (두 극단값을 빼고 $\frac{65}{16}-\frac{31}{16}$, $\frac{34}{16}$을 $\frac{17}{8}$로 약분하는 데 사용.)

⭐ 이 사슬형 평균은 사실 마지막 수가 가장 크게 반영되는 가중평균이다: 자리 가중치는 $16$분의 $1,1,2,4,8$이다. 최댓값은 가장 큰 수를 가장 무거운 자리에($\frac{65}{16}$), 최솟값은 반대로($\frac{31}{16}$), 그 차는 $\frac{17}{8}$이다.