AMC 10 · 2012 · #16

학년 6 arithmetic

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Constant-Rate Closing Speed

lcmrate identify-subproblems ↑ 선수 지식: lcmmultiples

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

세 명의 주자가 500미터 원형 트랙 위의 같은 지점에서 동시에 출발한다. 이들은 각각 초당 4.4미터, 4.8미터, 5.0미터의 일정한 속력으로 트랙을 시계 방향으로 돈다. 세 주자는 원형 트랙 위 어딘가에서 다시 모두 만나는 순간에 멈춘다. 주자들은 몇 초 동안 달리는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1,000

(B)

1,250

(C)

2,500

(D)

5,000

(E)

10,000

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 명의 주자가 둘레 $500$미터인 원형 트랙의 같은 지점에서 동시에 출발한다. 모두 시계 방향으로 각각 초속 $4.4$, $4.8$, $5.0$미터의 일정한 속도로 달린다. 세 사람이 트랙 위 어느 지점에서든 처음으로 다시 한자리에 모이는 순간까지 달린다. 그때까지 몇 초가 걸리는지 구하여라.

주어진 것: 트랙은 둘레가 $500$미터인 원이다; 세 주자는 같은 지점에서 같은 순간에, 모두 시계 방향으로 함께 출발한다; 각자의 일정한 속도는 초속 $4.4$, $4.8$, $5.0$미터이다; 이동 거리 = 속도 $\times$ 시간, 즉 $d = v\,t$; 선택지: (A) $1{,}000$, (B) $1{,}250$, (C) $2{,}500$, (D) $5{,}000$, (E) $10{,}000$초

구하는 것: 세 주자가 다시 같은 지점에 모이는 가장 빠른 시간 $t>0$ (초 단위)

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #8 단위 살펴보기, #3 가능성 지우기

세 사람이 한꺼번에 모이는 조건을 정면으로 다루기는 어려우니, 둘씩 짝지어 쪼갠다(도구 #7, 작은 문제로 쪼개기). 원형 트랙의 핵심 성질은, 함께 출발한 두 주자가 다시 나란히 서는 순간은 빠른 쪽이 느린 쪽보다 정확히 몇 바퀴(정수 바퀴)를 더 돈 순간이라는 점이다. 그러면 각 짝은 "한 바퀴를 따라잡는 데 얼마나 걸리나"라는 간단한 문제가 된다. 시간 $t$를 도입하고(도구 #4) $d=v\,t$의 비율 추론(도구 #8, 단위 살펴보기)으로 각 짝이 얼마나 자주 만나는지 구한다. 그다음 세 사람이 모이는 시간은 두 짝의 주기의 공배수 중 처음 값, 즉 최소공배수를 취하면 된다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로, 그 시간에 모든 주자가 정수 바퀴에 도달하는지 확인해 선택지와 맞춰 본다.

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 6.RP.A.3 단계 1

원형 트랙에서 두 주자가 만나는 순간

원형 트랙에서 함께 출발한 두 주자가 다시 나란히 서는 순간은, 빠른 쪽이 정확히 정수 바퀴만큼 앞선 때, 곧 둘 사이 거리 차가 $500$미터의 배수가 되는 때이다.
$t$초 뒤 각자는 (자기 속도)$\times t$만큼 갔으므로 거리 차는 속도 차이 $\times\, t$이다.
따라서 한 짝의 만남 조건은: (속도 차) $\times\, t$가 $500$의 배수인 것이다.

$$\text{거리 차}=(v_{\text{빠름}}-v_{\text{느림}})\,t = 500k \quad (k=1,2,3,\ldots)$$

💡 원을 도는 트랙에서는 딱 한 바퀴를 따라잡으면 다시 상대 옆에 서게 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.3 단계 2

가장 느린 짝은 1250초마다 만난다

초속 $4.4$와 $4.8$미터 주자를 보자.
속도 차는 $4.8-4.4=0.4$ m/s이므로 빠른 쪽이 매초 $0.4$미터씩 앞선다.
한 바퀴 $500$미터를 따라잡는 데는 $500\div 0.4 = 1250$초가 걸리고, 그 배수마다 다시 나란히 선다.
따라서 이 짝은 $t = 1250,\ 2500,\ 3750,\ \ldots$에서 만난다.

$$\dfrac{500}{4.8-4.4}=\dfrac{500}{0.4}=1250\text{ s}$$

💡 한 바퀴를 거리 차가 벌어지는 속도로 나누면 만남 사이의 시간이 나온다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.3 단계 3

가장 빠른 짝은 2500초마다 만난다

이번엔 초속 $4.8$와 $5.0$미터 주자다.
속도 차는 $5.0-4.8=0.2$ m/s이다.
매초 $0.2$미터씩만 벌어지므로 한 바퀴 $500$미터를 따라잡는 데 $500\div 0.2 = 2500$초가 걸린다.
따라서 이 짝은 $t = 2500,\ 5000,\ \ldots$에서 만난다.

$$\dfrac{500}{5.0-4.8}=\dfrac{500}{0.2}=2500\text{ s}$$

💡 속도 차가 작을수록 한 바퀴를 더 천천히 따라잡으므로 이 짝은 덜 자주 만난다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.4 단계 4

두 짝의 주기를 맞추기

세 사람은 두 짝이 같은 순간에 모두 만날 때만 함께 모인다.
첫 짝은 $1250$의 배수마다, 둘째 짝은 $2500$의 배수마다 만난다.
둘 다의 배수가 되는 가장 이른 시간은 최소공배수 $\operatorname{lcm}(1250,2500)=2500$이다.
남은 짝인 $4.4$ 대 $5.0$은 속도 차 $0.6$으로 고유 주기가 $500\div 0.6 = 2500/3$초이지만, $t=2500$에서 거리 차는 $0.6\times 2500 = 1500 = 3\times 500$, 곧 정확히 $3$바퀴라 이 짝도 함께 만난다.
이 짝의 거리 차는 작은 두 차의 합이므로 저절로 해결된다.

$$\operatorname{lcm}(1250,\,2500)=2500\text{ s}$$

💡 두 만남의 리듬은 최소공배수에서 처음으로 겹친다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 5

모든 주자가 정수 바퀴인지 확인

$t=2500$초를 거리로 확인하자: $4.4\times 2500 = 11000 = 22$바퀴, $4.8\times 2500 = 12000 = 24$바퀴, $5.0\times 2500 = 12500 = 25$바퀴.
모든 거리가 $500$의 배수이므로 세 주자는 동시에 출발점으로 정확히 돌아온다.
그리고 4단계에서 이것이 가장 이른 순간임을 보였다.
정답은 (C) $2500$이다.

$$4.4(2500)=11000,\ 4.8(2500)=12000,\ 5.0(2500)=12500\ \Rightarrow\ \text{모두 }500\text{의 배수}\ \Rightarrow\ \textbf{(C)}$$

💡 모든 주자의 총거리가 정수 바퀴이면 셋 다 같은 출발점에 서 있다.

[1] #4 6.RP.A.3 원형 트랙에서 함께 출발한 두 주자가 다시 나란히 서는 순간은, 빠른 쪽이 정확히 정수 바퀴만큼 앞선 때, 곧 둘 사이 거리 차가 $500$미터

[2] #7 6.NS.B.3 초속 $4.4$와 $4.8$미터 주자를 보자. 속도 차는 $4.8-4.4=0.4$ m/s이므로 빠른 쪽이 매초 $0.4$미터씩 앞선다. 한 바퀴

[3] #7 6.NS.B.3 이번엔 초속 $4.8$와 $5.0$미터 주자다. 속도 차는 $5.0-4.8=0.2$ m/s이다. 매초 $0.2$미터씩만 벌어지므로 한 바퀴 $5

[4] #7 6.NS.B.4 세 사람은 두 짝이 같은 순간에 모두 만날 때만 함께 모인다. 첫 짝은 $1250$의 배수마다, 둘째 짝은 $2500$의 배수마다 만난다. 둘

[5] #3 4.OA.B.4 $t=2500$초를 거리로 확인하자: $4.4\times 2500 = 11000 = 22$바퀴, $4.8\times 2500 = 12000 =

검토

합리성 확인: 정답은 두 짝의 주기 $1250$과 $2500$의 공배수여야 하고 $2500$은 바로 $\operatorname{lcm}(1250,2500)$이므로 그보다 작은 값은 불가능하다 — 이로써 (A) $1000$과 (B) $1250$이 걸러진다($1250$초에서 가장 빠른 짝의 거리 차는 $0.2\times 1250 = 250$, 곧 반 바퀴여서 서로 반대편에 있고 함께 있지 않다). (D) $5000$과 (E) $10000$도 모두 공통 만남 시간이지만 처음이 아니다. $t=2500$에서 모든 주자가 정수 바퀴($22$, $24$, $25$)를 돌아 출발점에서 다시 만나므로 앞뒤가 맞고 깔끔하다.

대안 접근: 거리 차만으로 풀 수도 있다(도구 #4, 변수 도입하기): $t$초 뒤 각 짝의 거리 차는 $0.4t$, $0.2t$, $0.6t$미터이다. 세 사람이 모이려면 이 셋이 동시에 $500$의 배수여야 한다. 결정적 조건은 $0.2t = 500m$이며(가장 작은 차가 가장 느리게 벌어진다) $t = 2500m$을 준다. 가장 작은 양의 값은 $t=2500$이고, $0.4(2500)=1000$과 $0.6(2500)=1500$도 $500$의 배수임을 확인한다. 결과는 같은 (C)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems ($d=v\,t$로 속도를 거리로 바꾸고, 트랙 위 만남 조건을 "속도 차 $\times$ 시간이 정수 바퀴"로 세우는 데 사용.)
6.NS.B.3 Fluently add, subtract, multiply, and divide multi-digit decimals (소수 속도를 빼서 거리 차 $0.4$, $0.2$ m/s를 구하고 $500$을 각각으로 나눠 짝의 주기 $1250$, $2500$초를 구하는 데 사용.)
6.NS.B.4 Find greatest common factor and least common multiple of two numbers (두 짝의 주기를 $\operatorname{lcm}(1250,2500)=2500$으로 합쳐 세 주자가 처음 모이는 시간을 구하는 데 사용.)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite ($t=2500$에서 각 주자의 거리($11000$, $12000$, $12500$)가 $500$의 배수임을 확인해 셋이 같은 지점에 서는지 검증하는 데 사용.)

⭐ 원형 트랙에서 두 주자는 빠른 쪽이 한 바퀴를 더 돌 때마다 다시 만난다. 각 짝이 얼마나 자주 만나는지 구한 뒤 최소공배수를 취하면 된다 — 여기서는 $\operatorname{lcm}(1250,2500)=2500$초.