AMC 10 · 2012 · #16
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AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
세 사람이 한꺼번에 모이는 조건을 정면으로 다루기는 어려우니, 둘씩 짝지어 쪼갠다(도구 #7, 작은 문제로 쪼개기). 원형 트랙의 핵심 성질은, 함께 출발한 두 주자가 다시 나란히 서는 순간은 빠른 쪽이 느린 쪽보다 정확히 몇 바퀴(정수 바퀴)를 더 돈 순간이라는 점이다. 그러면 각 짝은 "한 바퀴를 따라잡는 데 얼마나 걸리나"라는 간단한 문제가 된다. 시간 t를 도입하고(도구 #4) d=v t의 비율 추론(도구 #8, 단위 살펴보기)으로 각 짝이 얼마나 자주 만나는지 구한다. 그다음 세 사람이 모이는 시간은 두 짝의 주기의 공배수 중 처음 값, 즉 최소공배수를 취하면 된다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로, 그 시간에 모든 주자가 정수 바퀴에 도달하는지 확인해 선택지와 맞춰 본다.
원형 트랙에서 두 주자가 만나는 순간
원형 트랙에서 두 주자는 거리 차 (속도 차) × t가 500의 배수일 때 다시 나란히 선다.
원을 도는 트랙에서는 딱 한 바퀴를 따라잡으면 다시 상대 옆에 서게 된다.
6.RP.A.3Introduce A Variable가장 느린 짝은 1250초마다 만난다
4.4와 4.8 짝은 매초 0.4미터씩 좁혀, 500미터 한 바퀴에 1250초가 걸린다. 그 배수마다 만난다.
한 바퀴를 거리 차가 벌어지는 속도로 나누면 만남 사이의 시간이 나온다.
6.NS.B.3Identify Subproblems가장 빠른 짝은 2500초마다 만난다
4.8과 5.0 짝은 매초 0.2미터씩만 좁혀 한 바퀴에 2500초가 걸리므로 훨씬 드물게 만난다.
속도 차가 작을수록 한 바퀴를 더 천천히 따라잡으므로 이 짝은 덜 자주 만난다.
6.NS.B.3Identify Subproblems두 짝의 주기를 맞추기
두 주기가 처음 겹치는 때가 답이다: lcm(1250, 2500) = 2500초. 이때 4.4 대 5.0 짝의 차도 1500미터, 곧 3바퀴다.
두 만남의 리듬은 최소공배수에서 처음으로 겹친다.
두 만남의 주기가 처음 겹치는 때는 그 최소공배수다.
▸ 왜?
두 주기에 다 걸리는 순간은 각각의 배수이므로, 처음 그런 때가 최소공배수다.
▸ 왜?
각 주기는 제 기간마다 똑같이 되풀이되므로, 그보다 이른 때에 맞아떨어질 수 없다.
모든 주자가 정수 바퀴인지 확인
t = 2500에서 11000, 12000, 12500미터, 곧 22·24·25바퀴라 셋 다 출발점에 선다. 답은 (C) 2500.
모든 주자의 총거리가 정수 바퀴이면 셋 다 같은 출발점에 서 있다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities원형 트랙에서 두 주자는 빠른 쪽이 한 바퀴를 더 돌 때마다 다시 만난다. 각 짝이 얼마나 자주 만나는지 구한 뒤 최소공배수를 취하면 된다 — 여기서는 lcm(1250,2500)=2500초.
- 원형 트랙에서 두 주자가 만나는 순간
- 가장 느린 짝은 1250초마다 만난다
- 가장 빠른 짝은 2500초마다 만난다
- 두 짝의 주기를 맞추기
- 모든 주자가 정수 바퀴인지 확인