AMC 10 · 2012 · #11

학년 6 arithmetic

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count

permutations-basic casework ↑ 선수 지식: permutations-basic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

디저트 요리사가 일요일부터 토요일까지 7일 동안 매일 디저트를 하나씩 정한다. 매일의 디저트는 케이크, 파이, 아이스크림, 푸딩 중 하나이고, 같은 디저트를 이틀 연속으로 낼 수는 없다. 생일 때문에 금요일에는 반드시 케이크를 내야 한다. 가능한 일주일 디저트 메뉴가 몇 가지인지 센다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

729

(B)

972

(C)

1024

(D)

2187

(E)

2304

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

"몇 가지인가"를 묻는 문제이므로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 센다. 아무렇게나 짐작하지 말고 영리한 순서로 디저트를 정한다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 "일주일 전체를 세기"라는 어려운 문제를 "하루를 세기" 일곱 개로 나누어 서로 곱하게 해 준다. 도구 #5(패턴 찾기)는 금요일을 뺀 모든 날이 똑같이 3가지 선택을 가진다는 규칙을 알아채, 곱을 하나의 3의 거듭제곱으로 정리하고 금요일에도 배수를 주는 함정을 막아 준다.

1STEP 1

금요일을 기준 삼아 바깥으로 세기

금요일은 케이크로 정해져 있으니, 이미 정한 날 바로 옆부터 차례로 정한다. 각 날은 이웃 하나만 피하면 되니 4-1=3가지.

4-1=3 (금요일이 아닌 각 날의 선택 수)

2STEP 2

서로 독립인 날의 수를 곱하기

금요일 아닌 6일이 각각 독립으로 3가지, 금요일은 1가지이므로 곱의 법칙으로 3⁶이 된다.

3×3×3×3×3×3₆일 × 1 = 3⁶

3STEP 3

3의 거듭제곱 계산하기

차례로 곱하면 3²=9, 3³=27, 3⁴=81, 3⁵=243, 3⁶=729이고, 이는 선택지 (A)이다.

3⁶=729 → (A)

정답

729

가장 큰 함정을 확인하자. 금요일이 고정임을 잊고 7일 모두에 3가지를 주면 3⁷=2187이 되는데, 이는 정확히 오답 (D)이다. 금요일을 고정하면 3 한 개가 빠져 2187이 3⁶=729로 줄어드니 (A)가 맞고 (D)는 의도된 실수이다. 또 이틀 연속 금지 규칙을 무시한 4⁷은 어떤 선택지보다도 훨씬 커서, 제약이 실제로 경우를 걸러 냄을 확인해 준다.

💡핵심 정리

고정된 날을 먼저 정하면 나머지 날은 각각 3가지뿐이니 곱하면 된다: 3⁶=729.

금요일을 기준 삼아 바깥으로 세기
서로 독립인 날의 수를 곱하기
3의 거듭제곱 계산하기

금요일을 기준 삼아 바깥으로 세기

서로 독립인 날의 수를 곱하기

3의 거듭제곱 계산하기

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