AMC 10 · 2013 · #17

학년 6 logicnumber-theory

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Rule-Governed Process Simulation

invariant-monovariantsystems-of-equationsmultiples invariant-monovariantwork-backwards ↑ 선수 지식: systems-of-equations

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

알렉스는 빨간 토큰 75개와 파란 토큰 75개로 시작한다. 빨간 부스에서는 빨간 토큰 2개를 내고 은 토큰 1개와 파란 토큰 1개를 받는다. 파란 부스에서는 파란 토큰 3개를 내고 은 토큰 1개와 빨간 토큰 1개를 받는다. 어느 부스도 더 이상 쓸 수 없을 때까지 계속 교환한다. 끝났을 때 은 토큰이 몇 개인지 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

102

(E)

103

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

교환을 하나하나 따라가면 수십 단계가 걸린다. 대신 각 색깔에 점수를 붙이되, 어떤 교환을 해도 총 점수가 변하지 않도록 값을 고른다. 그러면 총점은 처음부터 끝까지 그대로이고, 마지막에 남는 몇 개의 토큰에 남은 점수가 어떻게 나뉘는지만 밝히면 된다.

1STEP 1

각 교환의 순효과 찾기

빨간 부스는 빨강 2개→파랑 1개+은 1개, 파란 부스는 파랑 3개→빨강 1개+은 1개. 교환마다 은이 1개 는다.

Red booth: -2 red, +1 blue, +1 silver; Blue booth: +1 red, -3 blue, +1 silver

2STEP 2

각 토큰에 점수 붙이기

빨강 4점, 파랑 3점, 은 5점으로 두면 빨강 2개=8=은 1개+파랑 1개, 파랑 3개=9=은 1개+빨강 1개로 모두 대등한 맞바꿈이다.

red=4, blue=3, silver=5: 2 · 4 = 5 + 3, 3 · 3 = 5 + 4

3STEP 3

고정된 총점 계산하기

총점은 교환으로 변하지 않으니 끝 총점은 시작과 같다. 빨강 75개와 파랑 75개는 525점이다.

75 · 4 + 75 · 3 = 300 + 225 = 525

4STEP 4

끝 상태 설명하기

빨강 2개 미만, 파랑 3개 미만이면 멈추므로 빨강은 0 또는 1, 파랑은 0, 1, 2다. 은은 내주지 않는다.

red ∈ {0, 1}, blue ∈ {0, 1, 2}

5STEP 5

끝에서 525점 나누기

은은 1개당 5점이므로 남은 4·빨강 + 3·파랑이 5의 배수여야 한다. 가능한 값은 0과 10뿐이다.

5·(silver) = 525 - (4·red + 3·blue), 4·red+3·blue∈{0, 10}

6STEP 6

0-0 경우 배제하고 마무리하기

마지막 교환은 늘 토큰을 돌려주니 0-0은 불가능하다. 빨강 1개, 파랑 2개가 남아 515 ÷ 5 = 103개다.

5·(silver) = 525 - 10 = 515 → silver = 103

정답

103

남은 것을 직접 확인한다. 빨강 1개는 4점, 파랑 2개는 6점이므로 남은 점수는 10점이고 은 점수는 515점이라 515 / 5 = 103개다. 또 41 + 32 = 10은 실제로 5의 배수라 정수 조건과 맞고, 총합 4 + 6 + 515 = 525가 시작 값과 같다. 모두 들어맞으므로 103, 즉 보기 (E)가 맞다.

💡핵심 정리

각 토큰에 점수를 붙여 모든 교환을 대등한 맞바꿈으로 만들면, 교환이 어떻게 일어나든 변하지 않는 총점이 답을 알려준다.

각 교환의 순효과 찾기
각 토큰에 점수 붙이기
고정된 총점 계산하기
끝 상태 설명하기
끝에서 525점 나누기
0-0 경우 배제하고 마무리하기