AMC 10 · 2012 · #13

학년 6 arithmetic

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Constant-Rate Closing Speed

ratefraction-arithmetic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: rate

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

에스컬레이터가 멈춰 있을 때 Clea는 걸어서 60초 만에 끝까지 내려간다. 에스컬레이터가 움직일 때 같은 방식으로 걸어 내려가면 24초가 걸린다. Clea가 걷지 않고 움직이는 에스컬레이터 위에 가만히 서서 실려 내려갈 때 몇 초가 걸리는지 구한다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 단위 살펴보기

에스컬레이터의 길이가 주어지지 않으므로 도구 #8(단위 살펴보기)로 알맞은 단위를 정한다. 모든 것을 "초당 에스컬레이터 몇 개"로 재면 모르는 길이는 저절로 약분된다. 계산에 앞서 도구 #4(변수 도입하기)가 필요하다. Clea의 걷는 속력을 "계단을 기준으로 한 속력"이라고 이름 붙여야만 두 경우에 같은 값이 등장하고, 그래야 문제가 성립하기 때문이다. 이어서 도구 #16(관점 바꾸기)으로 시선을 Clea에서 에스컬레이터로 옮긴다. 그의 다리가 하지 않은 몫을 계단이 채운 것이다. 마지막으로 도구 #11(거꾸로 풀기)로 에스컬레이터의 비율을 문제가 실제로 묻는 시간으로 되돌린다. 조심할 이유는 분명하다. 솔깃한 지름길 60-24=36은 시간을 빼는 계산인데, 여기서 더해지는 것은 시간이 아니기 때문이다.

1STEP 1

움직임이 무엇을 더하는지 정하기

두 경우가 공유하는 값은 계단 기준 걷는 속력 w뿐이다. t초 동안 다리로 wt, 벨트로 et만큼 내려간다.

t초 동안 통로를 따라 내려간 거리 = wt_다리 + et_계단

2STEP 2

각 경우를 비율로 바꾸기

전체 한 번을 단위로 삼으면 모르는 길이가 사라진다. w = 1/60, w + e = 1/24 (초당).

w = 1/60, w + e = 1/24 (초당 에스컬레이터)

3STEP 3

빼서 에스컬레이터만 남기기

합쳐진 비율에서 걸음을 덜어 낸다. e = 1/24 - 1/60 = 5/120 - 2/120 = 1/40 (초당).

e = 1/24 - 1/60 = 5/120 - 2/120 = 3/120 = 1/40

4STEP 4

비율을 다시 시간으로 되돌리기

가만히 서면 e만 남으므로 1 에스컬레이터 전체에 1 ÷ 1/40 = 40초가 걸린다 → (B).

t = 1/e = 1 ÷ 1/40 = 40 초 → (B)

정답

답에서 주어진 기록을 거꾸로 복원해 보자. 1/60 + 1/40 = 2/120 + 3/120 = 5/120 = 1/24이고, 이는 정확히 움직이는 위에서 걸을 때의 24초이다. 즉 40은 두 조건 중 하나만이 아니라 둘 다를 재현한다. 거친 범위 검사도 통과한다. 걸음을 빼면 이동은 느려지기만 하므로 서서 가는 시간은 24초보다 커야 하는데 40 ＞ 24이다. 함정 두 개는 답 바로 옆에 놓여 있다. 시간을 빼면 60 - 24 = 36, 선택지 (A)가 되지만 시간은 더해지는 양이 아니고, 실제로 검산도 실패한다. 에스컬레이터가 1/36이라면 함께 갈 때 1 ÷ (1/60 + 1/36) = 22.5초가 되어 24초가 아니다. 두 시간을 평균하면 (60 + 24)/2 = 42, 선택지 (C)가 되는데 이는 근거가 전혀 없다.

💡핵심 정리

시간은 더해지지 않지만 비율은 더해진다: 1/24 - 1/60 = 1/40이므로 가만히 서 있으면 40초가 걸린다.

움직임이 무엇을 더하는지 정하기
각 경우를 비율로 바꾸기
빼서 에스컬레이터만 남기기
비율을 다시 시간으로 되돌리기

움직임이 무엇을 더하는지 정하기

각 경우를 비율로 바꾸기

빼서 에스컬레이터만 남기기

비율을 다시 시간으로 되돌리기

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