AMC 10 · 2012 · #13

학년 6 arithmetic

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Constant-Rate Closing Speed

ratefraction-arithmetic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: rate

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

클레아가 작동하지 않는 에스컬레이터를 걸어 내려가는 데 60초가 걸리고, 작동하는 에스컬레이터를 걸어 내려가는 데는 24초밖에 걸리지 않는다. 클레아가 작동하는 에스컬레이터에 그냥 서 있기만 한 채로 타고 내려가는 데는 몇 초가 걸리는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 클레아는 에스컬레이터가 멈춰 있을 때 걸어 내려가는 데 $60$초가 걸리고, 에스컬레이터가 움직일 때 걸어 내려가면 $24$초가 걸린다. 움직이는 에스컬레이터에 가만히 서 있기만 하면 내려가는 데 몇 초가 걸리는지 구하라.

주어진 것: 멈춘 에스컬레이터를 걸어 내려가면 $60$초가 걸린다; 움직이는 에스컬레이터를 걸어 내려가면 $24$초가 걸린다; 에스컬레이터의 길이는 모든 경우에 같다; 선택지: (A) $36$, (B) $40$, (C) $42$, (D) $48$, (E) $52$

구하는 것: 움직이는 에스컬레이터에 가만히 서서 내려가는 데 걸리는 초

이해

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #4 변수 도입하기

이것은 비율(속력) 문제이므로, 도구 #8(단위 살펴보기)로 모든 양을 "초당 몇 단위"라는 속력으로 유지하면 핵심 사실을 쓸 수 있다: 걷는 속력과 에스컬레이터 속력은 서로 더해진다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 에스컬레이터 길이를 편리한 수로 고정해 속력을 깔끔한 정수로 만든다. 도구 #4(변수 도입하기)는 숨어 있는 두 속력에 이름을 붙이고 빼서 에스컬레이터 자체의 속력만 남기는 관점이다.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.RP.A.2 단계 1

편리한 길이 정하기

길이는 변하지 않으므로 어떤 값으로도 정할 수 있다.
$60$과 $24$의 최소공배수인 $120$ 단위로 잡으면 두 시간 모두 나누어떨어진다.

$$L = 120 \text{ 단위}$$

💡 구체적인 길이를 정하면 각 시간이 깔끔한 정수 속력으로 바뀐다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.2 단계 2

클레아의 걷는 속력

멈춘 에스컬레이터에서 그녀는 $120$ 단위 전부를 $60$초 만에 걸어서 지난다.
걷는 속력은 $120 \div 60 = 2$ 초당 단위다.

$$\dfrac{120}{60} = 2 \text{ 단위/초}$$

💡 속력은 거리를 걸린 시간에 고르게 나눈 것일 뿐이다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.2 단계 3

걷기와 에스컬레이터를 합친 속력

움직이는 에스컬레이터에서는 그녀가 걷고 계단도 움직여서 $120$ 단위를 $24$초에 지난다.
합친 속력은 $120 \div 24 = 5$ 초당 단위다.

$$\dfrac{120}{24} = 5 \text{ 단위/초}$$

💡 움직이는 에스컬레이터 위에서 걸으면 두 속력이 같은 방향으로 함께 밀어준다.

#4 변수 도입하기 6.RP.A.3 단계 4

에스컬레이터의 속력만 뽑아내기

합친 속력은 클레아의 걷는 속력에 에스컬레이터의 속력을 더한 것이다.
그녀의 $2$ 초당 단위를 빼면 에스컬레이터 자체의 속력이 남는다: $5 - 2 = 3$ 초당 단위.

$$5 - 2 = 3 \text{ 단위/초}$$

💡 아는 부분(그녀의 걷기)을 빼면 원하는 부분(에스컬레이터)이 드러난다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 5

가만히 서 있을 때의 시간

가만히 서 있으면 에스컬레이터만이 그녀를 $120$ 단위 동안 $3$ 초당 단위로 실어 나른다.
시간은 $120 \div 3 = 40$초이므로, 정답은 (B)다.

$$\dfrac{120}{3} = 40 \text{ 초} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 시간은 거리를 그녀를 움직이는 하나의 속력으로 나눈 값이다.

[1] #9 6.RP.A.2 길이는 변하지 않으므로 어떤 값으로도 정할 수 있다. $60$과 $24$의 최소공배수인 $120$ 단위로 잡으면 두 시간 모두 나누어떨어진다.

[2] #8 6.RP.A.2 멈춘 에스컬레이터에서 그녀는 $120$ 단위 전부를 $60$초 만에 걸어서 지난다. 걷는 속력은 $120 \div 60 = 2$ 초당 단위다.

[3] #8 6.RP.A.2 움직이는 에스컬레이터에서는 그녀가 걷고 계단도 움직여서 $120$ 단위를 $24$초에 지난다. 합친 속력은 $120 \div 24 = 5$ 초당

[4] #4 6.RP.A.3 합친 속력은 클레아의 걷는 속력에 에스컬레이터의 속력을 더한 것이다. 그녀의 $2$ 초당 단위를 빼면 에스컬레이터 자체의 속력이 남는다: $5

[5] #8 6.RP.A.3 가만히 서 있으면 에스컬레이터만이 그녀를 $120$ 단위 동안 $3$ 초당 단위로 실어 나른다. 시간은 $120 \div 3 = 40$초이므로,

검토

합리성 확인: 서 있을 때의 시간 $40$초는 $24$초(움직이는 에스컬레이터를 걷는 가장 빠른 경우)와 $60$초(멈춘 에스컬레이터를 걷는 경우) 사이에 있는데, 타기만 하는 경우가 놓일 자리가 바로 여기다 — 걷기+타기보다 느리지만 멈춘 계단을 걷는 것보다는 빠르다. 속력으로도 일관된다: $24$초(걷기+타기)와 $60$초(걷기만)는 속력 $5$와 $2$를 주고, 그 차 $3$이 $120/3 = 40$초를 예측한다. (A) $36$이나 (C) $42$ 같은 값은 어떤 깔끔한 속력 빼기에서도 나오지 않는다.

대안 접근: 고정된 길이 대신 에스컬레이터의 분수 비율을 초당으로 쓴다. 걷기는 매초 $\tfrac{1}{60}$을 지나고, 걸으면서 타면 매초 $\tfrac{1}{24}$을 지난다. 에스컬레이터 혼자서는 매초 $\tfrac{1}{24} - \tfrac{1}{60} = \tfrac{5-2}{120} = \tfrac{3}{120} = \tfrac{1}{40}$을 지나므로, 한 번 다 타는 데 $40$초가 걸린다 — (B)와 일치한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.2 Understand the concept of a unit rate and use rate language (각 시간을 초당 단위 속력으로 바꾸기: $120/60 = 2$, $120/24 = 5$.)
6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (속력을 빼서 에스컬레이터를 분리하고($5 - 2 = 3$) 나눠서 서 있을 때의 시간을 구하기($120/3 = 40$).)

⭐ 각 시간을 속력으로 바꾸고, 걷기와 에스컬레이터가 더해지므로 걷는 속력을 빼면 에스컬레이터 혼자 얼마나 빠르게 실어 나르는지 알 수 있다.