AMC 10 · 2012 · #9
학년 2 arithmetic두 정수의 합이 26이다. 이 두 정수에 정수 두 개를 더 더하면 합이 41이 된다. 마지막으로 앞의 네 정수의 합에 정수 두 개를 더 더하면 합이 57이 된다. 이 6개의 정수 중 홀수인 정수의 최소 개수는 몇 개인가?
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AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 여섯 개의 정수를 두 개씩 차례로 더합니다. 처음 두 수의 합은 $26$ 입니다. 다음 두 수를 더하면 누적 합이 $41$ 이 됩니다. 마지막 두 수를 더하면 합이 $57$ 이 됩니다. 여섯 정수 중 홀수가 될 수 있는 개수의 최솟값을 구하세요.
주어진 것: 첫 번째 쌍의 합은 $26$; 두 번째 쌍을 더한 뒤 누적 합은 $41$; 세 번째 쌍을 더한 뒤 누적 합은 $57$; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$
구하는 것: 여섯 정수 중 홀수의 최소 개수
이해
문제 재정리: 여섯 개의 정수를 두 개씩 차례로 더합니다. 처음 두 수의 합은 $26$ 입니다. 다음 두 수를 더하면 누적 합이 $41$ 이 됩니다. 마지막 두 수를 더하면 합이 $57$ 이 됩니다. 여섯 정수 중 홀수가 될 수 있는 개수의 최솟값을 구하세요.
주어진 것: 첫 번째 쌍의 합은 $26$; 두 번째 쌍을 더한 뒤 누적 합은 $41$; 세 번째 쌍을 더한 뒤 누적 합은 $57$; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$
계획
주요 도구: #14 극단의 원리
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #11 거꾸로 풀기
문제가 최솟값을 묻고 있는데, 이것이 도구 #14(극단의 원리)의 직접적인 신호입니다 — 여섯 수를 홀수가 최대한 적어지는 경계까지 밀어붙입니다. 도구 #11(거꾸로 풀기)은 세 누적 합에서 뺄셈으로 각 쌍의 고유한 합을 되찾습니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 세 쌍을 서로 독립적으로 다룹니다 — 각 쌍이 가질 수 있는 홀수의 최소 개수는 그 쌍의 합 하나로 결정되기 때문입니다.
실행 — 정답: A
2.NBT.B.5 단계 1 각 쌍의 합 되찾기
- 정수는 세 쌍으로 들어옵니다.
- 이웃한 누적 합을 빼서 각 쌍의 고유한 기여를 되찾습니다.
- 첫 쌍은 $26$, 둘째 쌍은 $41-26$, 셋째 쌍은 $57-41$ 만큼 더합니다.
💡 누적 합에서 직전 누적 합을 빼면 바로 방금 더한 쌍이 기여한 값이다.
2.OA.C.3 단계 2 쌍 합의 홀짝
- 각 쌍을 따로 보고 홀짝을 따집니다.
- 두 정수의 합이 짝수가 되는 것은 둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수일 때($0$ 개 또는 $2$ 개의 홀수)입니다.
- 합이 홀수가 되는 것은 둘 중 정확히 하나가 홀수일 때뿐입니다.
💡 홀수는 짝을 이루지 못했을 때에만 합 속에 남는다 — 홀수 두 개는 다시 짝수로 상쇄된다.
2.OA.C.3 단계 3 각 쌍을 최소 홀수로 밀기
- 극단의 원리를 적용합니다: 각 쌍에 그 합이 허용하는 가장 적은 홀수를 줍니다.
- 쌍 합 $26$ 과 $16$ 은 짝수이므로 각각 두 짝수로 만들 수 있어 홀수 $0$ 개입니다.
- 쌍 합 $15$ 는 홀수라 정확히 $1$ 개의 홀수를 담을 수밖에 없습니다.
💡 짝수 합 쌍은 홀수를 $0$ 으로 만들 수 있지만, 홀수 합 쌍은 무엇으로도 $1$ 아래로 내릴 수 없다.
2.NBT.B.5 단계 4 최솟값을 더하기
- 각 쌍의 최솟값을 더합니다.
- 홀수 하나만으로 모든 누적 합을 맞추는 구체적 예는 $(12, 14)$, $(7, 8)$, $(8, 8)$ 입니다: 누적 합이 $26$, $41$, $57$ 로 올라가고 $7$ 만 홀수입니다.
- 따라서 최솟값은 $0 + 1 + 0 = 1$, 선택지 $\textbf{(A)}$ 입니다.
💡 독립적인 세 최솟값은 그대로 더해지고, 홀수를 반드시 내놓아야 하는 쌍은 홀수 합 쌍 하나뿐이다.
2.NBT.B.5 정수는 세 쌍으로 들어옵니다. 이웃한 누적 합을 빼서 각 쌍의 고유한 기여를 되찾습니다. 첫 쌍은 $26$, 둘째 쌍은 $41-26$, 셋째 쌍 2.OA.C.3 각 쌍을 따로 보고 홀짝을 따집니다. 두 정수의 합이 짝수가 되는 것은 둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수일 때($0$ 개 또는 $2$ 개의 홀수)입 2.OA.C.3 극단의 원리를 적용합니다: 각 쌍에 그 합이 허용하는 가장 적은 홀수를 줍니다. 쌍 합 $26$ 과 $16$ 은 짝수이므로 각각 두 짝수로 만들 2.NBT.B.5 각 쌍의 최솟값을 더합니다. 홀수 하나만으로 모든 누적 합을 맞추는 구체적 예는 $(12, 14)$, $(7, 8)$, $(8, 8)$ 입니다: 검토
합리성 확인: 합이 홀수인 쌍($15$)만이 홀수를 담도록 강제되고, 두 짝수나 두 홀수는 언제나 짝수 합을 만들기에 그 쌍의 홀수 $1$ 개는 피할 수 없습니다. 나머지 두 쌍(합 $26$ 과 $16$)은 모두 짝수로 깔끔히 만들 수 있어 $0$ 개를 기여합니다. 구체적 구성 $(12, 14)$, $(7, 8)$, $(8, 8)$ 은 누적 합 $26, 41, 57$ 을 맞추면서 홀수를 정확히 $1$ 개만 냅니다. 그래서 $1$ 은 달성 가능하며 더 줄일 수 없습니다 — 답 (A).
대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기 / 여집합 세기)을 mod $2$ 로: 각 정수를 $2$ 로 나눈 나머지로 바꿉니다. 누적 합 $26, 41, 57$ 은 짝수, 홀수, 홀수이므로 차이 $15$ 와 $16$ 은 홀수와 짝수입니다. 한 쌍이 홀수를 내놓아야 할 때는 그 쌍의 합이 홀수일 때뿐이고, 이는 오직 한 번($26$ 에서 $41$ 로 뛸 때) 일어납니다. 따라서 홀수 정확히 하나가 필요합니다 — 같은 답 (A).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 2)
2.NBT.B.5100 이내에서 능숙하게 더하고 빼기 (누적 합에서 각 쌍의 합을 되찾고($41-26=15$, $57-41=16$) 각 쌍의 최솟값 $0+1+0=1$ 을 더함.)2.OA.C.3물건 묶음의 개수가 홀수인지 짝수인지 판별하기 (홀짝 개념을 합으로 확장: 한 쌍의 합이 홀수가 되는 것은 구성원 중 정확히 하나가 홀수일 때뿐이며, 이것이 각 쌍의 홀수 최소 개수를 강제함.)
⭐ 두 수는 그중 정확히 하나가 홀수일 때에만 합이 홀수가 됩니다. 그래서 이 AMC 10 문제는 사실 2학년 홀짝 퍼즐이에요 — 홀수만큼 뛰는 쌍 하나만 홀수 한 개를 품어야 합니다.
⭐ 두 수는 그중 정확히 하나가 홀수일 때에만 합이 홀수가 됩니다. 그래서 이 AMC 10 문제는 사실 2학년 홀짝 퍼즐이에요 — 홀수만큼 뛰는 쌍 하나만 홀수 한 개를 품어야 합니다.
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