AMC 10 · 2012 · #9
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AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
문제가 최솟값을 묻고 있는데, 이것이 도구 #14(극단의 원리)의 직접적인 신호입니다 — 여섯 수를 홀수가 최대한 적어지는 경계까지 밀어붙입니다. 도구 #11(거꾸로 풀기)은 세 누적 합에서 뺄셈으로 각 쌍의 고유한 합을 되찾습니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 세 쌍을 서로 독립적으로 다룹니다 — 각 쌍이 가질 수 있는 홀수의 최소 개수는 그 쌍의 합 하나로 결정되기 때문입니다.
각 쌍의 합 되찾기
이웃한 누적 합을 빼서 세 쌍의 합을 되찾습니다: 26, 15, 16.
누적 합에서 직전 누적 합을 빼면 바로 방금 더한 쌍이 기여한 값이다.
2.NBT.B.5Work Backwards쌍 합의 홀짝
두 정수의 합은 홀짝이 같으면 짝수가 되고, 정확히 하나만 홀수일 때에만 홀수가 됩니다.
홀수는 짝을 이루지 못했을 때에만 합 속에 남는다 — 홀수 두 개는 다시 짝수로 상쇄된다.
합에서 홀수가 살아남는 것은 짝이 없을 때뿐인데, 홀수 둘을 더하면 짝수가 되기 때문이다.
▸ 왜?
두 수의 합이 짝수인 것은 둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수일 때뿐이다.
▸ 왜?
그러므로 홀수는 둘씩 짝지어 없앨 수 있고, 짝을 못 찾은 것만이 짝홀을 바꾼다.
각 쌍을 최소 홀수로 밀기
각 쌍에 합이 허용하는 최소 홀수를 줍니다: 짝수 합 26과 16은 0 개, 홀수 합 15는 정확히 1 개.
짝수 합 쌍은 홀수를 0으로 만들 수 있지만, 홀수 합 쌍은 무엇으로도 1 아래로 내릴 수 없다.
2.OA.C.3Extreme Principle최솟값을 더하기
각 쌍의 최솟값 합은 0 + 1 + 0 = 1. (12, 14), (7, 8), (8, 8)이 26, 41, 57을 맞추고 홀수는 7뿐.
독립적인 세 최솟값은 그대로 더해지고, 홀수를 반드시 내놓아야 하는 쌍은 홀수 합 쌍 하나뿐이다.
2.NBT.B.5Extreme Principle두 수는 그중 정확히 하나가 홀수일 때에만 합이 홀수가 됩니다. 그래서 이 AMC 10 문제는 사실 2학년 홀짝 퍼즐이에요 — 홀수만큼 뛰는 쌍 하나만 홀수 한 개를 품어야 합니다.
- 각 쌍의 합 되찾기
- 쌍 합의 홀짝
- 각 쌍을 최소 홀수로 밀기
- 최솟값을 더하기