AMC 10 · 2013 · #17

학년 6 number-theory

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Floor Count Across Residue Bins

lcmprinciple-of-inclusion-exclusioncomplementary-counting identify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: lcm

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

대프니는 세 명의 가장 친한 친구인 앨리스, 비어트릭스, 클레어의 방문을 주기적으로 받는다. 앨리스는 3일마다, 비어트릭스는 4일마다, 클레어는 5일마다 방문한다. 어제 세 친구가 모두 대프니를 방문했다. 앞으로의 $365$ 일 동안 정확히 두 명의 친구가 그녀를 방문하는 날은 며칠인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 친구가 정해진 주기로 방문한다. 앨리스는 3일마다, 베아트릭스는 4일마다, 클레어는 5일마다 온다. 어제(0일째) 세 명이 모두 다녀갔다. 다음 365일 동안 정확히 두 명의 친구가 방문하는 날이 며칠인지 구하라.

주어진 것: 앨리스는 3일마다, 베아트릭스는 4일마다, 클레어는 5일마다 방문한다.; 기간이 시작되기 전날(0일째)에 세 명이 함께 다녀갔다.; 기간은 다음 365일, 즉 1일째부터 365일째까지이다.

구하는 것: 365일 기간 중 정확히 두 명의 친구가 방문하는 날의 수.

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #16 관점 바꾸기

"정확히 두 명"은 세 개의 짝 문제로 쪼개진다: 앨리스-베아트릭스, 앨리스-클레어, 베아트릭스-클레어. 두 친구가 같은 날 오려면 그날이 두 주기의 공배수여야 하므로 각 짝은 최소공배수의 배수마다 만난다. 각 짝을 센 다음 세 명이 모두 오는 날을 빼면 정확히 두 명인 날의 총합이 나온다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.4 단계 1

각 짝을 LCM으로 바꾸기

두 친구가 같은 날 오려면 그날이 두 주기의 공배수, 즉 두 간격의 최소공배수여야 한다.
앨리스와 베아트릭스는 LCM(3,4)=12일마다, 앨리스와 클레어는 LCM(3,5)=15일마다, 베아트릭스와 클레어는 LCM(4,5)=20일마다 함께 온다.

$$\text{LCM}(3,4)=12,\quad \text{LCM}(3,5)=15,\quad \text{LCM}(4,5)=20$$

💡 함께 방문하는 날은 두 친구의 주기에 동시에 맞아야 하므로 그들의 LCM에 놓인다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.2 단계 2

각 짝의 만남 세기

365일 안에서 각 LCM의 배수가 몇 번 나오는지, 365를 LCM으로 나누고 나머지를 버려서 센다.
앨리스와 베아트릭스는 12의 배수, 앨리스와 클레어는 15의 배수, 베아트릭스와 클레어는 20의 배수마다 만난다.

$$\lfloor 365/12 \rfloor = 30,\quad \lfloor 365/15 \rfloor = 24,\quad \lfloor 365/20 \rfloor = 18$$

💡 365까지 k의 배수 개수는 365 안에 k가 온전히 몇 번 들어가는지와 같다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.4 단계 3

세 명이 모두 오는 날 찾기

세 친구가 같은 날 오려면 그날이 세 주기 모두의 배수, 즉 LCM(3,4,5)=60이어야 한다.
365일 안에서 이런 날을 센다.

$$\text{LCM}(3,4,5)=60,\quad \lfloor 365/60 \rfloor = 6$$

💡 세 주기 모두에 맞는 날은 합쳐진 LCM인 60의 배수여야 한다.

#16 관점 바꾸기 4.OA.A.3 단계 4

각 짝에서 세 명이 오는 날 빼기

60의 배수는 12, 15, 20의 배수이기도 하므로 그 6일은 세 짝 합계에 모두 들어가 있지만, 그날은 정확히 두 명이 아니라 세 명이 모두 온다.
6일의 세 명 방문일을 각 짝 개수에서 빼고, 조정된 세 개수를 더한다.
총합은 54이고, 이는 보기 (B)이다.

$$(30-6)+(24-6)+(18-6)=24+18+12=54$$

💡 세 번째 친구가 오지 않아야만 정확히 두 명인 날이므로 세 명이 오는 날은 모든 짝에서 빼내야 한다.

[1] #7 6.NS.B.4 두 친구가 같은 날 오려면 그날이 두 주기의 공배수, 즉 두 간격의 최소공배수여야 한다. 앨리스와 베아트릭스는 LCM(3,4)=12일마다, 앨리

[2] #7 6.NS.B.2 365일 안에서 각 LCM의 배수가 몇 번 나오는지, 365를 LCM으로 나누고 나머지를 버려서 센다. 앨리스와 베아트릭스는 12의 배수, 앨리

[3] #7 6.NS.B.4 세 친구가 같은 날 오려면 그날이 세 주기 모두의 배수, 즉 LCM(3,4,5)=60이어야 한다. 365일 안에서 이런 날을 센다.

[4] #16 4.OA.A.3 60의 배수는 12, 15, 20의 배수이기도 하므로 그 6일은 세 짝 합계에 모두 들어가 있지만, 그날은 정확히 두 명이 아니라 세 명이 모두

검토

합리성 확인: 패턴이 60일마다 반복되고 365일은 여섯 개의 온전한 60일 묶음(360일)에 5일이 남으므로, 60일 묶음 하나로 확인한다. 한 묶음에서 짝은 각각 5번, 4번, 3번 만나지만 60일째의 세 명 만남이 세 짝에 모두 들어가므로 정확히 두 명인 날은 (5-1)+(4-1)+(3-1)=4+3+2=9이다. 여섯 묶음이면 9x6=54이고, 남은 361~365일은 하나도 더하지 않아 54와 맞는다.

대안 접근: 짝별이 아니라 묶음별로 정확히 두 명인 날을 센다. 각 60일 묶음이 정확히 두 명인 날 9일을 만들고 365일에는 온전한 묶음이 여섯 개 있으므로 6x9=54 (B)이며 조정할 겹침이 남지 않는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.NS.B.4 Find greatest common factor and least common multiple of two numbers (각 짝의 만남 주기(12, 15, 20)와 세 명 전체의 주기(60)를 최소공배수로 구하기.)
6.NS.B.2 Fluently divide multi-digit numbers using the standard algorithm (365까지 12, 15, 20, 60의 배수 개수를 나눗셈으로 세기.)
4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (세 명이 오는 6일을 각 짝 개수에서 빼고 결과를 더해 54에 이르기.)

⭐ 두 친구는 주기의 LCM마다 만나므로, 각 짝의 만남을 세고 세 명이 다 오는 날만 빼면 된다.