AMC 10 · 2013 · #17

학년 6 number-theory

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Floor Count Across Residue Bins

lcmprinciple-of-inclusion-exclusioncomplementary-counting identify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: lcm

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

대프니의 세 친구가 정해진 주기로 방문한다. 앨리스는 3일마다, 베아트릭스는 4일마다, 클레어는 5일마다 온다. 어제(0일째) 세 명이 모두 다녀갔다. 다음 365일 동안 정확히 두 명의 친구가 방문하는 날이 며칠인지 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

"정확히 두 명"은 세 개의 짝 문제로 쪼개진다: 앨리스-베아트릭스, 앨리스-클레어, 베아트릭스-클레어. 두 친구가 같은 날 오려면 그날이 두 주기의 공배수여야 하므로 각 짝은 최소공배수의 배수마다 만난다. 각 짝을 센 다음 세 명이 모두 오는 날을 빼면 정확히 두 명인 날의 총합이 나온다.

1STEP 1

각 짝을 LCM으로 바꾸기

함께 오는 날은 두 주기에 모두 맞아야 하므로 짝의 간격은 LCM인 12, 15, 20일이다.

LCM(3,4)=12, LCM(3,5)=15, LCM(4,5)=20

2STEP 2

각 짝의 만남 세기

365를 각 간격으로 나누고 나머지를 버리면 짝들은 30번, 24번, 18번 만난다.

⌊ 365/12 ⌋ = 30, ⌊ 365/15 ⌋ = 24, ⌊ 365/20 ⌋ = 18

3STEP 3

세 명이 모두 오는 날 찾기

세 명이 함께 오는 날은 LCM(3,4,5)=60의 배수뿐이고, 365일 안에 6일 있다.

LCM(3,4,5)=60, ⌊ 365/60 ⌋ = 6

4STEP 4

각 짝에서 세 명이 오는 날 빼기

그 6일은 세 짝 합계에 모두 들어 있으니 각각에서 빼면 24+18+12=54이다.

(30-6)+(24-6)+(18-6)=24+18+12=54

정답

패턴이 60일마다 반복되고 365일은 여섯 개의 온전한 60일 묶음(360일)에 5일이 남으므로, 60일 묶음 하나로 확인한다. 한 묶음에서 짝은 각각 5번, 4번, 3번 만나지만 60일째의 세 명 만남이 세 짝에 모두 들어가므로 정확히 두 명인 날은 (5-1)+(4-1)+(3-1)=4+3+2=9이다. 여섯 묶음이면 9x6=54이고, 남은 361~365일은 하나도 더하지 않아 54와 맞는다.

💡핵심 정리

두 친구는 주기의 LCM마다 만나므로, 각 짝의 만남을 세고 세 명이 다 오는 날만 빼면 된다.

각 짝을 LCM으로 바꾸기
각 짝의 만남 세기
세 명이 모두 오는 날 찾기
각 짝에서 세 명이 오는 날 빼기

각 짝을 LCM으로 바꾸기

각 짝의 만남 세기

세 명이 모두 오는 날 찾기

각 짝에서 세 명이 오는 날 빼기

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