AMC 10 · 2013 · #3

학년 6 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Axis-Aligned Figure Area from Coordinates

area-triangleslinear-equations-one-varformula-substitution convert-to-algebra ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트 📊 도형

문제

정사각형 $ABCD$ 의 한 변의 길이는 $10$ 이다. 점 $E$ 는 $\overline{BC}$ 위에 있고, 삼각형 $\bigtriangleup ABE$ 의 넓이는 $40$ 이다. $BE$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변의 길이가 $10$ 인 정사각형이 있고, 점 $E$ 는 변 $\overline{BC}$ 위 어딘가에 있다. 정사각형의 두 꼭짓점 $A$, $B$ 와 점 $E$ 로 이루어진 삼각형의 넓이가 $40$ 이다. 이때 $BE$ 의 길이를 구하라.

주어진 것: 정사각형 $ABCD$ 의 한 변의 길이가 $10$ 이므로 $AB = BC = 10$; $E$ 는 변 $\overline{BC}$ 위에 있다; $\triangle ABE$ 의 넓이는 $40$ 이다; 선택지: (A) $4$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $7$, (E) $8$

구하는 것: 길이 $BE$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기

이 문제는 그림을 제대로 읽는 데서 모든 것이 갈리므로 도구 #1 (그림 그리기)이 핵심이다. 정사각형의 꼭짓점 $B$ 는 직각이고, $E$ 가 $\overline{BC}$ 위에 있으므로 삼각형 $ABE$ 는 두 변 $AB$ 와 $BE$ 가 직각을 이루는 직각삼각형이다. 이 두 수직인 변이 그림에서 보이면, 도구 #4 (변수 도입하기)로 마무리한다: $BE$ 를 미지수로 두고 직각삼각형의 넓이를 $\tfrac12 \cdot AB \cdot BE$ 로 써서 $40$ 과 같다고 놓은 뒤, 한 단계짜리 방정식을 푼다.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1

그림 읽기: B 에서 생기는 직각삼각형

삼각형이 어디에 놓였는지 살펴본다.
변 $\overline{AB}$ 는 정사각형의 왼쪽 모서리를 따라 올라가고 $\overline{BC}$ 는 위쪽 모서리를 따라 가며, 둘은 꼭짓점 $B$ 에서 만나므로 서로 수직이다.
$E$ 가 $\overline{BC}$ 위의 점이므로 선분 $\overline{BE}$ 는 그 위쪽 모서리 위에 놓인다.
따라서 삼각형 $ABE$ 는 $B$ 에서 직각이고, 두 직각변은 $AB = 10$ 과 미지수 $BE$ 이다.

💡 정사각형의 꼭짓점은 직각이므로, 거기서 만나는 두 변이 곧 삼각형의 수직인 두 직각변이 된다.

#4 변수 도입하기 6.G.A.1 단계 2

BE 를 밑변으로 삼아 넓이 세우기

직각삼각형에서는 두 직각변이 밑변과 높이 역할을 한다.
$BE$ 를 밑변으로, $AB = 10$ 을 높이로 삼으면 넓이는 $\tfrac12 \cdot BE \cdot 10 = 5 \cdot BE$ 이다.
이것을 주어진 넓이 $40$ 과 같다고 놓는다.

$$\text{넓이} = \tfrac{1}{2}\cdot BE \cdot AB = \tfrac{1}{2}\cdot BE \cdot 10 = 5\,BE = 40$$

💡 직각삼각형에서는 한 직각변이 밑변, 다른 직각변이 높이이므로 넓이는 두 변을 곱한 값의 절반이다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.7 단계 3

BE 구하기

방정식 $5 \cdot BE = 40$ 은 $px = q$ 꼴이다.
양변을 $5$ 로 나누면 $BE = 8$ 이다.
이 값은 $0$ 과 $10$ 사이에 있으므로 $E$ 는 실제로 선분 $\overline{BC}$ 위에 놓인다.
따라서 답은 $\textbf{(E)}\ 8$ 이다.

$$5\,BE = 40 \;\Rightarrow\; BE = \dfrac{40}{5} = 8 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 $5$ 를 곱한 것을 되돌리려면 양변을 $5$ 로 나누면 된다.

[1] #1 6.G.A.1 삼각형이 어디에 놓였는지 살펴본다. 변 $\overline{AB}$ 는 정사각형의 왼쪽 모서리를 따라 올라가고 $\overline{BC}$ 는

[2] #4 6.G.A.1 직각삼각형에서는 두 직각변이 밑변과 높이 역할을 한다. $BE$ 를 밑변으로, $AB = 10$ 을 높이로 삼으면 넓이는 $\tfrac12 \c

[3] #4 6.EE.B.7 방정식 $5 \cdot BE = 40$ 은 $px = q$ 꼴이다. 양변을 $5$ 로 나누면 $BE = 8$ 이다. 이 값은 $0$ 과 $10$

검토

합리성 확인: 결과를 그림과 맞춰 확인한다. $BE = 8$ 이면 삼각형의 두 직각변은 $8$ 과 $10$ 이고 넓이는 $\tfrac12 \cdot 8 \cdot 10 = 40$ 으로 문제와 정확히 일치한다. 또 $8$ 은 한 변의 길이 $10$ 보다 작으므로 $E$ 가 꼭짓점 $C$ 를 넘지 않고 $\overline{BC}$ 위에 제대로 남는다. 정사각형 전체의 넓이는 $100$ 이고, 삼각형의 $40$ 은 그 일부로 자연스러우며 전체보다 크지 않다.

대안 접근: 넓이에서 거꾸로 풀 수도 있다. 높이가 $10$ 이고 넓이가 $40$ 인 삼각형의 밑변은 $\tfrac{2 \cdot 40}{10} = 8$ 이어야 하며, 그 밑변이 $BE$ 이므로 다시 $BE = 8$ 을 얻는다. 또는 선택지를 대입해 보면 $5 \cdot BE$ 가 $40$ 이 되는 것은 $BE = 8$ 뿐이므로 나머지는 모두 지워진다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing ($\triangle ABE$ 를 직각변이 $AB=10$ 과 $BE$ 인 직각삼각형으로 파악하고 넓이를 $\tfrac12 \cdot BE \cdot 10$ 으로 쓴 것.)
6.EE.B.7 Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q ($5\,BE = 40$ 을 풀어 $BE = 8$ 을 얻은 것.)

⭐ 정사각형의 꼭짓점에서는 두 변이 수직이라 삼각형이 직각삼각형이 된다. 넓이는 한 직각변과 다른 직각변을 곱한 값의 절반이고, 그것을 $40$ 과 같다고 놓으면 $BE = 8$ 이 나온다.