AMC 10 · 2013 · #3

학년 6 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Axis-Aligned Figure Area from Coordinates
area-triangleslinear-equations-one-varformula-substitution convert-to-algebra ↑ 선수 지식: area-triangles
📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트 📊 도형
문제
정사각형 ABCD 의 한 변의 길이는 10이다. 점 E 는 변 BC 위에 있다. 그리고 삼각형 ABE 의 넓이는 40이다. BE 의 길이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
4
(B)
5
(C)
6
(D)
7
(E)
8

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

이 문제는 그림을 제대로 읽는 데서 모든 것이 갈리므로 도구 #1 (그림 그리기)이 핵심이다. 정사각형의 꼭짓점 B 는 직각이고, E 가 BC 위에 있으므로 삼각형 ABE 는 두 변 AB 와 BE 가 직각을 이루는 직각삼각형이다. 이 두 수직인 변이 그림에서 보이면, 도구 #4 (변수 도입하기)로 마무리한다: BE 를 미지수로 두고 직각삼각형의 넓이를 1/2 · AB · BE 로 써서 40과 같다고 놓은 뒤, 한 단계짜리 방정식을 푼다.

1STEP 1

그림 읽기: B 에서 생기는 직각삼각형

AB 와 BC 가 B 에서 직각으로 만나고 E 는 BC 위에 있으니, 삼각형 ABE 는 직각변이 AB = 10과 BE 다.

2STEP 2

BE 를 밑변으로 삼아 넓이 세우기

BE 를 밑변, AB = 10을 높이로 보면 넓이는 BE 곱하기 10의 절반, 곧 5 · BE 이고 이것이 40이다.

넓이 = 1/2 · BE · AB = 1/2 · BE · 10 = 5 BE = 40
3STEP 3

BE 구하기

5 · BE = 40의 양변을 5로 나누면 BE = 8 이고, 0과 10 사이이므로 E 는 BC 위에 있다. 답은 (E).

5 BE = 40 → BE = 40/5 = 8 → (E)
정답
8
결과를 그림과 맞춰 확인한다. BE = 8이면 삼각형의 두 직각변은 8과 10이고 넓이는 1/2 · 8 · 10 = 40으로 문제와 정확히 일치한다. 또 8은 한 변의 길이 10 보다 작으므로 E 가 꼭짓점 C 를 넘지 않고 BC 위에 제대로 남는다. 정사각형 전체의 넓이는 100이고, 삼각형의 40은 그 일부로 자연스러우며 전체보다 크지 않다.
💡핵심 정리

정사각형의 꼭짓점에서는 두 변이 수직이라 삼각형이 직각삼각형이 된다. 넓이는 한 직각변과 다른 직각변을 곱한 값의 절반이고, 그것을 40과 같다고 놓으면 BE = 8이 나온다.

  • 그림 읽기: B 에서 생기는 직각삼각형
  • BE 를 밑변으로 삼아 넓이 세우기
  • BE 구하기

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