AMC 10 · 2013 · #13

학년 4 counting

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Periodic Placement Formula

triangular-numberspattern-recognitionsequences-arithmetic pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pattern-recognition

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

조와 블레어가 번갈아 가며 수를 센다. 각자 $1$ 부터 시작해서 상대가 마지막으로 말한 수보다 $1$ 큰 수까지 센다. 조가 먼저 $``1"$ 이라고 말하면, 블레어가 이어서 $``1, 2"$ 라고 말한다. 그다음 조가 $``1, 2, 3"$ 이라고 말하고, 이런 식으로 계속한다. $53^{\text{rd}}$ 번째로 말한 수는 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 조와 블레어가 번갈아 가며 1부터 수를 센다. 자기 차례가 되면 1부터 시작해서, 상대가 마지막으로 말한 수보다 1 큰 수까지 다시 센다. 조가 "1", 블레어가 "1, 2", 조가 "1, 2, 3"을 말하는 식이다. 전체에서 53번째로 말한 수를 구하라.

주어진 것: 1번째 차례(조): 수 1개를 말함, 목록은 1; 2번째 차례(블레어): 수 2개를 말함, 목록은 1, 2; 3번째 차례(조): 수 3개를 말함, 목록은 1, 2, 3; 매 차례마다 1부터 다시 세고, 직전보다 1 더 큰 수까지 셈

구하는 것: 말한 모든 수를 순서대로 셌을 때 53번째로 말한 수의 값

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #2 빠짐없이 나열하기

세는 규칙이 깔끔하게 반복된다. n번째 차례에는 정확히 n개의 수가 나온다. 이 패턴을 알아채고, 차례마다의 개수를 더해 각 차례가 끝날 때까지 말한 수의 총개수를 구한 뒤, 53번째 수가 몇 번째 차례에 있는지 찾고 그 차례 안에서 값을 읽어낸다.

실행 — 정답: E

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

차례마다 몇 개를 말하는지 세기

1번째 차례에 조는 수 1개를 말한다.
2번째 차례에 블레어는 2개를 말한다.
3번째 차례에 조는 3개를 말한다.
각 차례에는 1부터 그 차례 번호까지의 수를 말하므로, n번째 차례에는 정확히 n개의 수가 나온다.

n\text{번째 차례에는 } n \text{개: } 1, 2, \ldots, n

💡 차례 번호가 곧 그 차례에 말하는 수의 개수다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 2

더해서 어느 차례인지 찾기

k번째 차례까지 말한 총개수는 1 + 2 + ...
+ k이다.
차례대로 더해 보면, 9번째 차례까지는 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45개, 10번째 차례까지는 45 + 10 = 55개다.
53은 45보다 크고 55 이하이므로, 53번째 수는 10번째 차례에서 말해진다.

$$1+2+\cdots+9 = 45,\qquad 45 + 10 = 55,\qquad 45 < 53 \le 55$$

💡 말한 수의 누적 개수가 53을 처음 넘을 때까지 계속 더한다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 3

10번째 차례 안에서 53 위치 찾기

9번째 차례가 끝나면 45개를 말했으므로, 46번째 수가 10번째 차례의 첫 번째 수다.
10번째 차례에는 1, 2, 3, ..., 10을 순서대로 말한다.
53번째로 말한 수는 10번째 차례의 53 - 45 = 8번째 수이고, 목록 1, 2, ..., 10에서 8번째 수는 8이다.
따라서 53번째로 말한 수는 8, 즉 정답은 (E)다.

53 - 45 = 8 \;\Rightarrow\; 1,2,\ldots,10 \text{ 중 8번째 수} = 8

💡 이미 센 개수를 빼고, 그만큼 지금 차례의 목록으로 걸어 들어간다.

[1] #5 4.OA.C.5 1번째 차례에 조는 수 1개를 말한다. 2번째 차례에 블레어는 2개를 말한다. 3번째 차례에 조는 3개를 말한다. 각 차례에는 1부터 그 차례

[2] #7 4.NBT.B.4 k번째 차례까지 말한 총개수는 1 + 2 + ... + k이다. 차례대로 더해 보면, 9번째 차례까지는 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45

[3] #2 4.OA.A.3 9번째 차례가 끝나면 45개를 말했으므로, 46번째 수가 10번째 차례의 첫 번째 수다. 10번째 차례에는 1, 2, 3, ..., 10을 순서

검토

합리성 확인: 누적 총개수 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55를 보면 53번째 위치가 45번째와 55번째 사이, 즉 목록이 1..10인 10번째 차례 안에 있음이 확인된다. 46, 47, ..., 53을 세면 8번째 항에 닿고 그 값은 8로, 보기 중 하나다.

대안 접근: 이 총개수들을 삼각수 T_k = k(k+1)/2로 쓸 수 있다. T_9 = 45, T_10 = 55이므로 53번째 수는 10번째 차례의 (53 - 45) = 8번째 항이고 값은 8이다. 누적 덧셈으로 센 결과와 일치한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule (n번째 차례에는 항상 1부터 n까지 n개의 수를 말한다는 것을 알아채기.)
4.NBT.B.4 Fluently add and subtract multi-digit whole numbers (차례별 개수를 누적으로 더해 53을 넘어서기.)
4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (53에서 45를 빼 10번째 차례의 8번째 위치를 찾고 그 값을 읽어내기.)

⭐ 각 차례가 수를 몇 개 말하는지 원하는 번째를 넘어설 때까지 더한 뒤, 마지막 차례의 목록에서 그만큼 세어 들어가면 된다.