AMC 10 · 2012 · #14
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AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
31×31 판 전체를 한 칸씩 세기에는 너무 크므로, 도구 #5(패턴 찾기)로 반복되는 규칙으로 바꾼다. 각 행은 번갈아 색이 나오는 띠일 뿐이고, 한 행의 검은 칸 수는 양 끝의 색만으로 정해진다. 도구 #1(그림 그리기)로 작은 홀수 판에서 이 규칙을 먼저 확인하고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 31개의 행을 검은색으로 끝나는 행과 빨간색으로 끝나는 행 두 무리로 나누면 세고 더하기가 쉬워진다.
작은 홀수 판 그려 보기
모서리가 검은 3×3 판을 그려 보면 한 행이 검정, 빨강, 검정이다. 길이가 홀수면 시작한 색으로 끝난다.
길이가 홀수인 띠는 항상 시작한 색과 같은 색으로 끝난다.
2.OA.C.4Draw A Diagram행 종류별 검은 칸 세기
양 끝이 검은 31칸 행은 검정 16칸과 빨강 15칸으로 나뉘고, 빨강 끝 행은 그 반대로 검정이 15칸이다.
길이가 홀수인 번갈아 띠에서는 양 끝의 색이 다른 색보다 정확히 하나 더 많이 나온다.
길이가 홀수인 번갈아 칠한 띠에서는 양 끝의 색이 다른 색보다 정확히 하나 더 나온다.
▸ 왜?
번갈아 칠한 색은 띠를 따라 하나씩 짝을 이룬다.
▸ 왜?
개수가 홀수면 짝을 못 찾은 칸이 하나 남으며, 그 칸이 끝의 색을 지닌다.
각 종류의 행이 몇 개인지 세기
왼쪽 열도 검은 모서리에서 번갈아 내려가므로 홀수 번째 행이 검정 끝이고, 16개이며 나머지 15개는 빨강 끝이다.
모서리 색이 홀수 번째 행을 표시하니, 31까지의 홀수와 짝수를 세면 행이 나뉜다.
2.OA.C.3Identify Subproblems각 무리 곱하기
각 무리에 그 무리의 검은 칸 수를 곱한다. 검정 끝 행 16개는 256칸, 빨강 끝 행 15개는 225칸이다.
크기가 같은 무리는 긴 세기를 두 번의 빠른 곱셈으로 바꿔 준다.
4.NBT.B.5Identify Subproblems두 무리 더하기
두 무리를 더하면 256+225=481개, 선택지 (B)다. 남는 칸을 빨강에 주면 480이 나온다.
두 행 무리는 겹치지 않으므로 검은 칸 수를 그대로 더하면 된다.
4.NBT.B.4Identify Subproblems홀수 곱하기 홀수 판에서는 모서리에 놓인 색이 전체 칸의 절반보다 정확히 하나 더 많이 차지한다.
- 작은 홀수 판 그려 보기
- 행 종류별 검은 칸 세기
- 각 종류의 행이 몇 개인지 세기
- 각 무리 곱하기
- 두 무리 더하기
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