AMC 10 · 2013 · #13
학년 4 counting triangular-numberspattern-recognitionsequences-arithmetic pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pattern-recognition
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
조와 블레어가 번갈아 가며 1부터 수를 센다. 자기 차례가 되면 1부터 시작해서, 상대가 마지막으로 말한 수보다 1 큰 수까지 다시 센다. 조가 "1", 블레어가 "1, 2", 조가 "1, 2, 3"을 말하는 식이다. 전체에서 53번째로 말한 수를 구하라.
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(A)
2
(B)
3
(C)
5
(D)
6
(E)
8
AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이 과정
전략 패턴 찾기
세는 규칙이 깔끔하게 반복된다. n번째 차례에는 정확히 n개의 수가 나온다. 이 패턴을 알아채고, 차례마다의 개수를 더해 각 차례가 끝날 때까지 말한 수의 총개수를 구한 뒤, 53번째 수가 몇 번째 차례에 있는지 찾고 그 차례 안에서 값을 읽어낸다.
1STEP 1
차례마다 몇 개를 말하는지 세기
조는 1개, 블레어는 2개, 조는 3개 — n번째 차례에는 딱 n개, 즉 1부터 n까지를 말한다.
n번째 차례에는 n 개: 1, 2, …, n
차례 번호가 곧 그 차례에 말하는 수의 개수다.
차례의 번호는 그 차례에 말하는 수의 개수와 같다.
▸ 왜?
각 차례는 앞 차례보다 수를 하나 더 말하므로, 개수가 일정한 걸음으로 오른다.
일정한 간격이면 어느 항이든 닿는다목록이 매번 같은 양만큼 커지면 어떤 항이든 처음 값에 그 간격을 반복해 더한 것이므로, 중간 항을 다 적을 필요가 없다.
▸ 왜?
각 차례가 개수 하나와 정확히 짝지어지므로, 차례의 번호가 곧 그 개수다.
일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
2STEP 2
더해서 어느 차례인지 찾기
누적으로 9번째 차례까지 1+2+…+9 = 45개, 10번째까지 55개다. 53은 10번째 차례 안에 있다.
1+2+…+9 = 45, 45 + 10 = 55, 45 ＜ 53 ≤ 55
말한 수의 누적 개수가 53을 처음 넘을 때까지 계속 더한다.
4.NBT.B.4Identify Subproblems3STEP 3
10번째 차례 안에서 53 위치 찾기
10번째 차례는 1, 2, …, 10이고 53 - 45 = 8이므로 53번째 수는 그 차례의 8번째 항, 즉 8이다.
53 - 45 = 8 → 1,2,…,10 중 8번째 수 = 8
이미 센 개수를 빼고, 그만큼 지금 차례의 목록으로 걸어 들어간다.
4.OA.A.3Make A Systematic List정답
8
누적 총개수 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55를 보면 53번째 위치가 45번째와 55번째 사이, 즉 목록이 1..10인 10번째 차례 안에 있음이 확인된다. 46, 47, ..., 53을 세면 8번째 항에 닿고 그 값은 8로, 보기 중 하나다.
💡핵심 정리
각 차례가 수를 몇 개 말하는지 원하는 번째를 넘어설 때까지 더한 뒤, 마지막 차례의 목록에서 그만큼 세어 들어가면 된다.
- 차례마다 몇 개를 말하는지 세기
- 더해서 어느 차례인지 찾기
- 10번째 차례 안에서 53 위치 찾기
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