AMC 10 · 2013 · #17

학년 6 arithmetic

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Rule-Governed Process Simulation

invariant-monovariantsystems-of-equationsmultiples invariant-monovariantwork-backwards ↑ 선수 지식: systems-of-equations

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

알렉스는 빨간 토큰 $75$ 개와 파란 토큰 $75$ 개를 가지고 있다. 한 부스에서는 알렉스가 빨간 토큰 두 개를 내면 은 토큰 하나와 파란 토큰 하나를 돌려받고, 다른 부스에서는 파란 토큰 세 개를 내면 은 토큰 하나와 빨간 토큰 하나를 돌려받는다. 알렉스는 더 이상 교환할 수 없을 때까지 계속 토큰을 교환한다. 마지막에 알렉스가 가지게 되는 은 토큰은 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

102

(E)

103

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 알렉스는 빨간 토큰 75개와 파란 토큰 75개로 시작한다. 빨간 부스에서는 빨간 토큰 2개를 내고 은 토큰 1개와 파란 토큰 1개를 받는다. 파란 부스에서는 파란 토큰 3개를 내고 은 토큰 1개와 빨간 토큰 1개를 받는다. 어느 부스도 더 이상 쓸 수 없을 때까지 계속 교환한다. 끝났을 때 은 토큰이 몇 개인지 구하라.

주어진 것: 시작: 빨간 토큰 75개와 파란 토큰 75개; 빨간 부스: 빨간 2개를 내고 은 1개와 파란 1개를 받음; 파란 부스: 파란 3개를 내고 은 1개와 빨간 1개를 받음

구하는 것: 더 이상 교환할 수 없을 때 알렉스가 가진 은 토큰의 개수

이해

계획

주요 도구: #15 다르게 정리하기

보조 도구: #14 극단의 원리, #4 변수 도입하기, #11 거꾸로 풀기

교환을 하나하나 따라가면 수십 단계가 걸린다. 대신 각 색깔에 점수를 붙이되, 어떤 교환을 해도 총 점수가 변하지 않도록 값을 고른다. 그러면 총점은 처음부터 끝까지 그대로이고, 마지막에 남는 몇 개의 토큰에 남은 점수가 어떻게 나뉘는지만 밝히면 된다.

실행 — 정답: E

#15 다르게 정리하기 4.OA.A.3 단계 1

각 교환의 순효과 찾기

각 부스가 무엇을 바꾸는지 적는다.
빨간 부스는 빨강 2개를 없애고 파랑 1개와 은 1개를 더한다.
파란 부스는 파랑 3개를 없애고 빨강 1개와 은 1개를 더한다.
모든 교환은 은 토큰을 정확히 1개 늘린다.

$$\text{Red booth: } -2\ \text{red},\ +1\ \text{blue},\ +1\ \text{silver}; \qquad \text{Blue booth: } +1\ \text{red},\ -3\ \text{blue},\ +1\ \text{silver}$$

💡 각 부스를 더하고 빼는 목록으로 줄이면 두 교환을 비교하기 쉽다.

#15 다르게 정리하기 6.EE.A.3 단계 2

각 토큰에 점수 붙이기

각 교환이 같은 점수끼리의 공정한 맞바꿈이 되도록 값을 고른다.
빨강을 4점, 파랑을 3점, 은을 5점으로 두자.
그러면 빨간 부스는 빨강 2개(8점)를 은 1개와 파랑 1개(5 + 3 = 8점)로 바꾸고, 파란 부스는 파랑 3개(9점)를 은 1개와 빨강 1개(5 + 4 = 9점)로 바꾼다.

$$\text{red}=4,\ \text{blue}=3,\ \text{silver}=5:\qquad 2\cdot 4 = 5 + 3, \qquad 3\cdot 3 = 5 + 4$$

💡 두 부스가 모두 같은 점수를 같은 점수로 바꾼다면 총 점수는 절대 변하지 않는다.

#15 다르게 정리하기 4.NBT.B.5 단계 3

고정된 총점 계산하기

어떤 교환도 총점을 바꾸지 않으므로 끝의 총점은 시작의 총점과 같다.
빨강 75개와 파랑 75개의 시작 점수를 더한다.

$$75\cdot 4 + 75\cdot 3 = 300 + 225 = 525$$

💡 525점이라는 하나의 고정된 수가 복잡한 시작과 복잡한 끝을 이어 준다.

#11 거꾸로 풀기 6.NS.C.7 단계 4

끝 상태 설명하기

어느 부스도 쓸 수 없을 때 교환이 멈춘다.
빨간 부스는 빨강 2개가 필요하므로 끝에는 빨강이 2개보다 적어 0개 또는 1개다.
파란 부스는 파랑 3개가 필요하므로 끝에는 파랑이 3개보다 적어 0개, 1개, 또는 2개다.
은 토큰은 결코 내주지 않는다.

$$\text{red} \in \{0, 1\}, \qquad \text{blue} \in \{0, 1, 2\}$$

💡 끝까지 살아남는 빨강과 파랑은 아주 적은 개수뿐이다.

#14 극단의 원리 4.OA.B.4 단계 5

끝에서 525점 나누기

끝에서 525점은 남은 빨강과 파랑, 그리고 각각 5점짜리 은 토큰에 나뉜다.
그래서 은 토큰 수의 5배는 525에서 남은 빨강과 파랑의 점수를 뺀 값과 같다.
은 토큰 수는 정수이므로 남은 4*red + 3*blue는 5의 배수여야 한다.
허용된 남은 값들을 확인하면 red=0, blue=0(남은 0)과 red=1, blue=2(남은 10)만 5의 배수다.

$$5\cdot(\text{silver}) = 525 - (4\cdot\text{red} + 3\cdot\text{blue}), \qquad 4\cdot\text{red}+3\cdot\text{blue}\in\{0,\,10\}$$

💡 은 개수는 정수여야 하므로 남은 점수가 5의 배수인 경우만 실제로 일어난다.

#14 극단의 원리 4.OA.A.3 단계 6

0-0 경우 배제하고 마무리하기

빨강 0개와 파랑 0개로 끝나는 것은 불가능하다.
마지막 교환은 항상 토큰 하나를 돌려주기 때문이다.
빨간 부스에서는 파랑, 파란 부스에서는 빨강을 준다.
그래서 빨강이나 파랑이 최소 하나는 남는다.
따라서 남는 것은 빨강 1개와 파랑 2개이고 남은 점수는 4 + 6 = 10이다.
그러면 은 토큰 수의 5배는 525에서 10을 뺀 515이므로 은 토큰은 103개다.
답은 (E)이다.

$$5\cdot(\text{silver}) = 525 - 10 = 515 \;\Rightarrow\; \text{silver} = 103$$

💡 마지막 교환은 항상 동전을 돌려주므로 두 색을 동시에 0으로 비울 수 없다.

[1] #15 4.OA.A.3 각 부스가 무엇을 바꾸는지 적는다. 빨간 부스는 빨강 2개를 없애고 파랑 1개와 은 1개를 더한다. 파란 부스는 파랑 3개를 없애고 빨강 1개와

[2] #15 6.EE.A.3 각 교환이 같은 점수끼리의 공정한 맞바꿈이 되도록 값을 고른다. 빨강을 4점, 파랑을 3점, 은을 5점으로 두자. 그러면 빨간 부스는 빨강 2개

[3] #15 4.NBT.B.5 어떤 교환도 총점을 바꾸지 않으므로 끝의 총점은 시작의 총점과 같다. 빨강 75개와 파랑 75개의 시작 점수를 더한다.

[4] #11 6.NS.C.7 어느 부스도 쓸 수 없을 때 교환이 멈춘다. 빨간 부스는 빨강 2개가 필요하므로 끝에는 빨강이 2개보다 적어 0개 또는 1개다. 파란 부스는 파

[5] #14 4.OA.B.4 끝에서 525점은 남은 빨강과 파랑, 그리고 각각 5점짜리 은 토큰에 나뉜다. 그래서 은 토큰 수의 5배는 525에서 남은 빨강과 파랑의 점수를

[6] #14 4.OA.A.3 빨강 0개와 파랑 0개로 끝나는 것은 불가능하다. 마지막 교환은 항상 토큰 하나를 돌려주기 때문이다. 빨간 부스에서는 파랑, 파란 부스에서는 빨

검토

합리성 확인: 남은 것을 직접 확인한다. 빨강 1개는 4점, 파랑 2개는 6점이므로 남은 점수는 10점이고 은 점수는 515점이라 515 / 5 = 103개다. 또 4*1 + 3*2 = 10은 실제로 5의 배수라 정수 조건과 맞고, 총합 4 + 6 + 515 = 525가 시작 값과 같다. 모두 들어맞으므로 103, 즉 보기 (E)가 맞다.

대안 접근: 방문 횟수를 변수로 센다. 빨간 부스 방문 횟수를 x, 파란 부스 방문 횟수를 y라 하자. 빨강 1개와 파랑 2개로 끝나므로 75 - 2x + y = 1과 75 + x - 3y = 2가 성립한다. 이 두 식을 풀면 x = 59, y = 44다. 방문 한 번마다 은 1개가 나오므로 총합은 x + y = 59 + 44 = 103으로 같은 답이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (각 부스의 토큰 순변화를 적고, 마지막에 빼고 나누어 103을 얻는 데 사용.)
6.EE.A.3 Apply the properties of operations to generate equivalent expressions (빨강=4, 파랑=3, 은=5로 정해 각 교환이 양쪽 점수를 같게 맞추도록 하는 데 사용.)
4.NBT.B.5 Multiply a whole number of up to four digits by a one-digit whole number (고정된 시작 총점 75*4 + 75*3 = 525점을 계산하는 데 사용.)
6.NS.C.7 Understand ordering and absolute value of rational numbers ('빨강 2개 미만'과 '파랑 3개 미만'을 끝 상태의 빨강과 파랑 범위로 바꾸는 데 사용.)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite (은 개수가 정수로 남도록 남은 4*red + 3*blue가 5의 배수여야 함을 요구하는 데 사용.)

⭐ 각 토큰에 점수를 붙여 모든 교환을 대등한 맞바꿈으로 만들면, 교환이 어떻게 일어나든 변하지 않는 총점이 답을 알려준다.