AMC 10 · 2013 · #4

학년 4 counting

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Uniform Pair-Sum Recovery

consecutive-integer-countsymmetry-argument work-backwardspattern-recognition ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$3$ 부터 $201$ 까지 셀 때, $53$ 은 $51^{\text{st}}$ 번째로 세는 수이다. $201$ 부터 $3$ 까지 거꾸로 셀 때, $53$ 은 $n^{\text{th}}$ 번째로 세는 수이다. $n$ 은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

146

(B)

147

(C)

148

(D)

149

(E)

150

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $3$부터 $201$까지의 정수를 차례로 늘어놓습니다. 앞에서부터 세면 $53$은 $51$번째입니다. 이제 같은 수들을 반대 순서로, $201$부터 $3$까지 거꾸로 늘어놓습니다. 이 거꾸로 센 목록에서 $53$은 $n$번째입니다. $n$을 구하세요.

주어진 것: 수는 $3$부터 $201$까지 연속으로 이어짐; 앞에서부터($3$부터) 세면 $53$은 $51$번째; 거꾸로 센 목록은 $201$부터 $3$까지 이어짐; 선택지: (A) $146$, (B) $147$, (C) $148$, (D) $149$, (E) $150$

구하는 것: $201$부터 거꾸로 셀 때 $53$의 위치 $n$

이해

계획

주요 도구: #11 거꾸로 풀기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #5 패턴 찾기

문제는 목록을 끝에서부터 읽었을 때의 위치를 묻고 있으므로 도구 #11(거꾸로 풀기)이 딱 맞습니다 — $201$에서 시작해 $53$에 닿을 때까지 하나씩 내려가면 됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 이 풀이가 기대는 재사용 가능한 사실 하나, 즉 한 값에서 다른 값까지 양 끝을 포함해 정수가 몇 개 있는지를 제공합니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 같은 목록에서 앞 위치와 뒤 위치의 합이 항상 일정하다는 성질로 빠른 검산을 해 줍니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 2.OA.A.1 단계 1

양 끝 포함 세기 규칙

먼저 세는 규칙을 정합니다.
작은 값 $a$부터 큰 값 $b$까지 양 끝을 모두 포함해 정수를 세면 그 개수는 $b - a + 1$입니다.
주어진 사실로 확인해 봅니다: 앞에서부터 $3$부터 세면 $53$의 위치는 $53 - 3 + 1 = 51$로, 문제에 나온 $51$번째와 일치합니다.
규칙은 믿을 만합니다.

$$\text{위치(앞에서)} = 53 - 3 + 1 = 51 \;\checkmark$$

💡 끝값끼리 빼면 수들 사이의 간격이 세어지고, $+1$은 시작하는 수 자체를 다시 더해 양 끝을 모두 포함시켜 줍니다.

#11 거꾸로 풀기 2.OA.A.1 단계 2

거꾸로 세기로 바꾸기

거꾸로 세기는 $201$에서 시작해 $201, 200, 199, \ldots$로 내려가다 $53$에 닿습니다.
그러니 $53$의 뒤 위치는 곧 $201$부터 $53$까지 양 끝을 포함해 몇 개가 나열되는지와 같습니다.
같은 세기 규칙으로 그 개수는 $201 - 53 + 1$입니다.

$$n = 201 - 53 + 1$$

💡 목록을 위에서부터 읽으면 $53$의 등수는 꼭대기 $201$부터 $53$까지의 수 덩어리 크기 그 자체입니다.

#11 거꾸로 풀기 4.NBT.B.4 단계 3

n 계산하기

계산합니다.
$201 - 53 = 148$이고, 끝점 $53$ 자신을 포함하기 위해 $1$을 더하면 $149$입니다.
따라서 거꾸로 세면 $53$은 $149$번째 수입니다.

$$n = 201 - 53 + 1 = 148 + 1 = 149 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 다자릿수 뺄셈 $201 - 53$ 하나가 핵심 일을 다 하고, $+1$은 앞에서와 똑같은 양 끝 포함 보정입니다.

[1] #7 2.OA.A.1 먼저 세는 규칙을 정합니다. 작은 값 $a$부터 큰 값 $b$까지 양 끝을 모두 포함해 정수를 세면 그 개수는 $b - a + 1$입니다. 주어

[2] #11 2.OA.A.1 거꾸로 세기는 $201$에서 시작해 $201, 200, 199, \ldots$로 내려가다 $53$에 닿습니다. 그러니 $53$의 뒤 위치는 곧

[3] #11 4.NBT.B.4 계산합니다. $201 - 53 = 148$이고, 끝점 $53$ 자신을 포함하기 위해 $1$을 더하면 $149$입니다. 따라서 거꾸로 세면 $53

검토

합리성 확인: 전체 목록에는 $201 - 3 + 1 = 199$개의 수가 있습니다. 같은 목록에서 한 수의 앞 위치와 뒤 위치는 반드시 합이 $199 + 1 = 200$이 됩니다($+1$은 그 수 자체가 양쪽에서 한 번씩 세어지기 때문). 앞에서 $53$은 $51$번째였으니, 뒤에서는 $200 - 51 = 149$번째여야 하며 (D)와 일치합니다. 또한 작은 쪽 끝에 가까운 수는 거꾸로 센 목록에서는 먼 쪽, 즉 $149$처럼 큰 위치에 오는 것이 자연스럽습니다.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기)를 아주 짧은 목록에 적용해 봅니다. 수 $1,2,3,4,5$를 거꾸로 세면 $5,4,3,2,1$입니다. 수 $2$는 앞에서 $2$번째, 뒤에서 $4$번째이고 $2 + 4 = 6 = 5 + 1 = \text{전체} + 1$입니다. 이 '앞 $+$ 뒤 $=$ 전체 $+1$' 패턴으로 $n = 200 - 51 = 149$가 곧바로 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

2.OA.A.1 100 이내 덧셈·뺄셈을 사용하는 한두 단계 문장제 풀기 (양 끝 포함 세기 규칙($b - a + 1$)을 세우고, '거꾸로 셀 때의 위치'를 $201$부터 $53$까지의 개수로 바꾸는 데 사용.)
4.NBT.B.4 다자릿수 자연수를 능숙하게 덧셈·뺄셈하기 (뒤 위치를 구하기 위해 다자릿수 뺄셈 $201 - 53 + 1 = 149$를 계산하는 데 사용.)

⭐ 거꾸로 센 목록에서 내 자리를 찾으려면 꼭대기 끝에서 내 수까지 몇 개가 있는지 세면 돼요: $201 - 53 + 1 = 149$, 이미 아는 양 끝 포함 세기예요.