AMC 10 · 2013 · #4

학년 4 counting

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Uniform Pair-Sum Recovery

consecutive-integer-countsymmetry-argument work-backwardspattern-recognition ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

3부터 201까지의 정수를 차례로 늘어놓습니다. 앞에서부터 세면 53은 51번째입니다. 이제 같은 수들을 반대 순서로, 201부터 3까지 거꾸로 늘어놓습니다. 이 거꾸로 센 목록에서 53은 n번째입니다. n을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

146

(B)

147

(C)

148

(D)

149

(E)

150

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 거꾸로 풀기

문제는 목록을 끝에서부터 읽었을 때의 위치를 묻고 있으므로 도구 #11(거꾸로 풀기)이 딱 맞습니다 — 201에서 시작해 53에 닿을 때까지 하나씩 내려가면 됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 이 풀이가 기대는 재사용 가능한 사실 하나, 즉 한 값에서 다른 값까지 양 끝을 포함해 정수가 몇 개 있는지를 제공합니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 같은 목록에서 앞 위치와 뒤 위치의 합이 항상 일정하다는 성질로 빠른 검산을 해 줍니다.

1STEP 1

양 끝 포함 세기 규칙

a부터 b까지 양 끝을 포함하면 개수는 b - a + 1. 확인하면 앞에서 53 - 3 + 1 = 51, 주어진 51번째와 일치합니다.

위치(앞에서) = 53 - 3 + 1 = 51 ✓

2STEP 2

거꾸로 세기로 바꾸기

거꾸로는 201에서 시작해 53까지 내려가므로, n은 201부터 53까지 양 끝 포함 개수와 같습니다.

n = 201 - 53 + 1

3STEP 3

n 계산하기

201 - 53 = 148, 끝점 53까지 넣으려 1을 더하면 149. 거꾸로 세면 53은 149번째입니다.

n = 201 - 53 + 1 = 148 + 1 = 149 → (D)

정답

149

전체 목록에는 201 - 3 + 1 = 199개의 수가 있습니다. 같은 목록에서 한 수의 앞 위치와 뒤 위치는 반드시 합이 199 + 1 = 200이 됩니다(+1은 그 수 자체가 양쪽에서 한 번씩 세어지기 때문). 앞에서 53은 51번째였으니, 뒤에서는 200 - 51 = 149번째여야 하며 (D)와 일치합니다. 또한 작은 쪽 끝에 가까운 수는 거꾸로 센 목록에서는 먼 쪽, 즉 149처럼 큰 위치에 오는 것이 자연스럽습니다.

💡핵심 정리

거꾸로 센 목록에서 내 자리를 찾으려면 꼭대기 끝에서 내 수까지 몇 개가 있는지 세면 돼요: 201 - 53 + 1 = 149, 이미 아는 양 끝 포함 세기예요.

양 끝 포함 세기 규칙
거꾸로 세기로 바꾸기
n 계산하기

양 끝 포함 세기 규칙

거꾸로 세기로 바꾸기

n 계산하기

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