AMC 10 · 2014 · #10

학년 6 algebra
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
mean-median-mode-rangesequences-arithmetic convert-to-algebrapattern-recognition ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range
📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
연속한 정수 다섯 개가 a에서 시작하고, 그 평균이 b이다. b에서 시작하는 연속한 정수 다섯 개의 평균을 a로 나타내어라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
a+3
(B)
a+4
(C)
a+5
(D)
a+6
(E)
a+7

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

모든 것이 문자 하나 a에 달려 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 다섯 정수를 a, a+1, a+2, a+3, a+4로 적으면 말을 정확한 평균 식으로 바꿀 수 있다. 도구 #5(패턴 찾기)는 핵심 지름길을 준다: 연속한 정수 다섯 개의 평균은 항상 가운데 수이므로, 긴 목록을 두 번 더할 필요가 없다.

1STEP 1

다섯 정수에 이름 붙이기

a에서 시작해 1씩 커지므로 다섯 정수는 a, a+1, a+2, a+3, a+4, 곧 미지수 하나로 끝난다.

a, a+1, a+2, a+3, a+4
2STEP 2

평균을 구해 b 얻기

다섯 수의 합이 5a+10이므로 5로 나누면 b=a+2, 곧 목록의 가운데 정수다.

b=(5a+10)/5=a+2
3STEP 3

가운데 항이 평균

두 번째 목록은 b, b+1, b+2, b+3, b+4이므로 같은 규칙으로 평균은 가운데 항 b+2다.

b, b+1, b+2, b+3, b+4 → 평균=b+2
4STEP 4

b = a + 2 대입하기

b에 a+2를 대입하면 두 번째 평균은 b+2=(a+2)+2=a+4, 곧 선택지 (B)다.

b+2=(a+2)+2=a+4 → (B)
정답
a+4
실제 수로 확인하자. a=1이면 첫 목록은 1,2,3,4,5이고 평균은 b=3이다. 두 번째 목록은 3에서 시작하는 3,4,5,6,7이고 평균은 5이다. 그리고 a+4=1+4=5로 일치한다. 평균을 낼 때마다 시작점이 정확히 2씩 올라갔고, 두 번 하면 +4이므로 (B)가 일관되며 다른 선택지는 배제된다.
💡핵심 정리

연속한 다섯 수의 평균은 바로 가운데 수이고, 평균을 두 번 내면 시작 수가 매번 2씩 올라가므로 a는 a+4까지 올라간다.

  • 다섯 정수에 이름 붙이기
  • 평균을 구해 b 얻기
  • 가운데 항이 평균
  • b = a + 2 대입하기

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