AMC 10 · 2014 · #10

학년 6 arithmetic

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

mean-median-mode-rangesequences-arithmetic convert-to-algebrapattern-recognition ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

$a$ 로 시작하는 연속한 양의 정수 다섯 개의 평균이 $b$ 이다. $b$ 로 시작하는 연속한 정수 $5$ 개의 평균은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

a+3

(B)

a+4

(C)

a+5

(D)

a+6

(E)

a+7

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 연속한 정수 다섯 개가 $a$에서 시작하고, 그 평균이 $b$이다. $b$에서 시작하는 연속한 정수 다섯 개의 평균을 $a$로 나타내어라.

주어진 것: 첫 번째 목록은 $a$에서 시작하는 연속한 정수 다섯 개이다: $a,\;a+1,\;a+2,\;a+3,\;a+4$; 그 첫 번째 목록의 평균을 $b$라고 부른다; 두 번째 목록은 $b$에서 시작하는 연속한 정수 다섯 개이다; 선택지: (A) $a+3$, (B) $a+4$, (C) $a+5$, (D) $a+6$, (E) $a+7$

구하는 것: 두 번째 목록의 평균을 $a$로 나타낸 식

이해

문제 재정리: 연속한 정수 다섯 개가 $a$에서 시작하고, 그 평균이 $b$이다. $b$에서 시작하는 연속한 정수 다섯 개의 평균을 $a$로 나타내어라.

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #5 패턴 찾기

모든 것이 문자 하나 $a$에 달려 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 다섯 정수를 $a, a+1, a+2, a+3, a+4$로 적으면 말을 정확한 평균 식으로 바꿀 수 있다. 도구 #5(패턴 찾기)는 핵심 지름길을 준다: 연속한 정수 다섯 개의 평균은 항상 가운데 수이므로, 긴 목록을 두 번 더할 필요가 없다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 1

다섯 정수에 이름 붙이기

$a$에서 시작해 매번 $1$씩 커진다.
연속한 다섯 정수는 $a,\;a+1,\;a+2,\;a+3,\;a+4$이다.
이렇게 적으면 모든 것을 미지수 $a$ 하나로 나타낼 수 있다.

$$a,\;a+1,\;a+2,\;a+3,\;a+4$$

💡 연속한 정수는 하나씩 올라가므로, 문자 하나에 $0,1,2,3,4$를 더하면 전부 이름이 붙는다.

#4 변수 도입하기 6.SP.B.5 단계 2

평균을 구해 b 얻기

다섯 수를 더하고 $5$로 나눈다.
합은 $a+(a+1)+(a+2)+(a+3)+(a+4)=5a+10$이다.
$5$로 나누면 $b=\dfrac{5a+10}{5}=a+2$이다.
즉 평균 $b$는 목록의 가운데 정수이다.

$$b=\dfrac{5a+10}{5}=a+2$$

💡 평균은 합을 똑같이 나눈 값이고, 고르게 늘어선 수에서는 그 몫이 가운데 수에 딱 맞는다.

#5 패턴 찾기 6.SP.A.3 단계 3

가운데 항이 평균

두 번째 목록은 $b$에서 시작하는 연속한 다섯 정수이다: $b,\;b+1,\;b+2,\;b+3,\;b+4$.
같은 패턴으로, 연속한 다섯 정수의 평균은 가운데 수이므로 이 목록의 평균은 $b+2$이다 — 다시 더하고 나눌 필요가 없다.

$$b,\;b+1,\;b+2,\;b+3,\;b+4\;\Rightarrow\;\text{평균}=b+2$$

💡 다섯 개가 줄지어 있으면 항상 가운데 값을 중심으로 균형을 이루므로, 가운데 항이 곧 평균이다.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.3 단계 4

b = a + 2 대입하기

두 번째 평균은 $b+2$이다.
$b$에 $a+2$를 대입하면 $b+2=(a+2)+2=a+4$이다.
이는 선택지 (B)와 일치한다.
함정 답은 너무 일찍 멈출 때 나온다 — "$2$ 더하기"를 한 번 빠뜨리면 $a+3$, 두 번 겹쳐 세면 $a+5$ 이상이 된다.

$$b+2=(a+2)+2=a+4\;\Rightarrow\;\textbf{(B)}$$

💡 평균 단계마다 시작점이 $2$씩 올라가고, 두 번 하면 $a$가 $4$만큼 커진다.

[1] #4 6.EE.A.2 $a$에서 시작해 매번 $1$씩 커진다. 연속한 다섯 정수는 $a,\;a+1,\;a+2,\;a+3,\;a+4$이다. 이렇게 적으면 모든 것을 미

[2] #4 6.SP.B.5 다섯 수를 더하고 $5$로 나눈다. 합은 $a+(a+1)+(a+2)+(a+3)+(a+4)=5a+10$이다. $5$로 나누면 $b=\dfrac{5

[3] #5 6.SP.A.3 두 번째 목록은 $b$에서 시작하는 연속한 다섯 정수이다: $b,\;b+1,\;b+2,\;b+3,\;b+4$. 같은 패턴으로, 연속한 다섯 정수

[4] #4 6.EE.A.3 두 번째 평균은 $b+2$이다. $b$에 $a+2$를 대입하면 $b+2=(a+2)+2=a+4$이다. 이는 선택지 (B)와 일치한다. 함정 답은

검토

합리성 확인: 실제 수로 확인하자. $a=1$이면 첫 목록은 $1,2,3,4,5$이고 평균은 $b=3$이다. 두 번째 목록은 $3$에서 시작하는 $3,4,5,6,7$이고 평균은 $5$이다. 그리고 $a+4=1+4=5$로 일치한다. 평균을 낼 때마다 시작점이 정확히 $2$씩 올라갔고, 두 번 하면 $+4$이므로 (B)가 일관되며 다른 선택지는 배제된다.

대안 접근: 대수를 건너뛰고 수를 대입해도 된다: $a=10$이면 첫 목록 $10,11,12,13,14$의 평균은 $b=12$이고, $12$에서 시작하는 목록 $12,13,14,15,16$의 평균은 $14$이다. $14=10+4=a+4$이므로 답은 (B)이다. 한 값만 넣어봐도 일반 결과가 빠르게 확인된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.A.2 Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (연속한 다섯 정수를 $a, a+1, a+2, a+3, a+4$로, 그리고 $b$에서 시작하는 두 번째 목록으로 나타내기.)
6.SP.B.5 Summarize numerical data sets by reporting number of observations and measures (첫 목록의 평균 $b=\dfrac{5a+10}{5}=a+2$ 계산하기.)
6.SP.A.3 Recognize that a measure of center summarizes all its values with a single number (연속한 다섯 정수의 평균으로 가운데 항을 사용해 다시 더하지 않고 $b+2$ 얻기.)
6.EE.A.3 Apply the properties of operations to generate equivalent expressions ($b+2$에 $b=a+2$를 대입해 $a+4$로 정리하기.)

⭐ 연속한 다섯 수의 평균은 바로 가운데 수이고, 평균을 두 번 내면 시작 수가 매번 $2$씩 올라가므로 $a$는 $a+4$까지 올라간다.