AMC 10 · 2014 · #19

학년 8 geometry-2d
유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Region
geometric-probabilitytangent-circlesthirty-sixty-ninety-triangle identify-subproblems ↑ 선수 지식: geometric-probability
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
중심이 같은 두 원의 반지름이 각각 1과 2이다. 반지름 2인 바깥 원 위에서 두 점을 서로 독립적으로, 그리고 고르게(균등하게) 무작위로 고른다. 이 두 점을 잇는 선분이 반지름 1인 안쪽 원을 지나갈(가로지를) 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{1}{6}$
(B)
$\frac{1}{4}$
(C)
$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$
(D)
$\frac{1}{3}$
(E)
$\frac{1}{2}$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

위치와 도형에 관한 기하 문제이므로 도구 #1(그림 그리기)이 핵심이다. 두 원과, 경계가 되는 접선을 그려 본다. 모든 것이 중심에 대해 대칭이므로 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)를 써서 첫 번째 점을 원하는 곳에 고정하고, 두 번째 점이 어디에 놓일 수 있는지만 묻는다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 두 조각으로 나눈다. 먼저 현이 안쪽 원에 아슬아슬하게 닿는 경계 각을 찾고, 그다음 그 경계를 넘는 현을 만드는 바깥 원의 비율을 잰다.

1STEP 1

대칭으로 첫 점 고정하기

중심을 기준으로 돌려도 그림은 같으니, 첫 점 A를 고정하고 둘째 점 B가 어디 놓이는지만 따진다.

P = (B가 놓일 수 있는 유리한 호의 길이)/(원 전체)
2STEP 2

접선을 그려 경계 찾기

A에서 그은 접선의 접점 T에서 OT가 수직이므로 OAT는 빗변 2, 변 1인 30-60-90 삼각형이고 각 AOT는 60°이다.

OA = 2, OT = 1, ∠ OTA = 90° → ∠ OAT = 30°, ∠ AOT = 60°
3STEP 3

접선을 중심각 규칙으로 바꾸기

접선을 늘이면 바깥 원과 A에서 120° 떨어진 점에서 만나므로, 중심각이 그보다 커야만 AB가 안쪽 원을 가로지른다.

현 AB 가 안쪽 원과 만남 ⇔ ∠ AOB ＞ 120°
4STEP 4

유리한 호를 재고 비율 구하기

유리한 호는 120°에서 240°까지로 360° 중 120°이므로, 확률은 1/3이고 정답은 (D)이다.

P = (240° - 120°)/360° = 120°/360° = 1/3 → (D)
정답
1/3
유리한 호는 정확히 바깥 원의 삼분의 일이므로 1/3은 깔끔하고 믿을 만한 답이고, 절반보다 작다는 점도 자연스럽다. 경계도 확인해 보자. 안쪽 원에 접하는 현이 딱 갈리는 경우이고, 이는 120° 중심각에 대응하며, 반지름과 접선이 만드는 30-60-90 삼각형과 일치한다. 이보다 가까우면 안쪽 원을 빗나가고 멀면 가로지르므로, 120° 폭의 유리한 구간으로 1/3이 나오는 것은 앞뒤가 맞는다.
💡핵심 정리

한 점을 고정해 두면, 현이 안쪽 원에 닿는 것은 두 번째 점이 120°보다 멀리 놓일 때뿐이고, 그것은 바깥 원의 삼분의 일 조각 하나이다.

  • 대칭으로 첫 점 고정하기
  • 접선을 그려 경계 찾기
  • 접선을 중심각 규칙으로 바꾸기
  • 유리한 호를 재고 비율 구하기

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.