AMC 10 · 2014 · #19

학년 8 geometry-2d

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Region

geometric-probabilitytangent-circlesthirty-sixty-ninety-triangle identify-subproblems ↑ 선수 지식: geometric-probability

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

동심원 두 개의 반지름이 각각 $1$ 과 $2$ 이다. 바깥쪽 원 위에서 두 점을 서로 독립적으로 균등하게 무작위로 택한다. 이 두 점을 잇는 현이 안쪽 원과 만날 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{6}$

(B)

$\frac{1}{4}$

(C)

$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$

(D)

$\frac{1}{3}$

(E)

$\frac{1}{2}$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 중심이 같은 두 원의 반지름이 각각 $1$과 $2$이다. 반지름 $2$인 바깥 원 위에서 두 점을 서로 독립적으로, 그리고 고르게(균등하게) 무작위로 고른다. 이 두 점을 잇는 선분이 반지름 $1$인 안쪽 원을 지나갈(가로지를) 확률을 구하여라.

주어진 것: 중심이 같은 두 원의 반지름이 각각 $1$(안쪽)과 $2$(바깥쪽)이다.; 바깥 원 위에서 두 점을 독립적으로, 균등하게 무작위로 고른다.; 고른 두 점을 잇는 현(선분)을 그린다.

구하는 것: 이 현이 안쪽 원과 만날(가로지를) 확률.

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #7 작은 문제로 쪼개기

위치와 도형에 관한 기하 문제이므로 도구 #1(그림 그리기)이 핵심이다. 두 원과, 경계가 되는 접선을 그려 본다. 모든 것이 중심에 대해 대칭이므로 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)를 써서 첫 번째 점을 원하는 곳에 고정하고, 두 번째 점이 어디에 놓일 수 있는지만 묻는다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 두 조각으로 나눈다. 먼저 현이 안쪽 원에 아슬아슬하게 닿는 경계 각을 찾고, 그다음 그 경계를 넘는 현을 만드는 바깥 원의 비율을 잰다.

실행 — 정답: D

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.SP.C.7 단계 1

대칭으로 첫 점 고정하기

그림은 중심을 기준으로 아무리 돌려도 똑같아 보이므로, 첫 번째 점이 어디에 있든 확률은 달라지지 않는다.
첫 번째 점 $A$를 바깥 원의 한 곳에 고정하자.
그러면 남는 무작위성은 두 번째 점 $B$의 위치뿐이고, $B$는 바깥 원 전체에 고르게 퍼져 있다.
우리가 구하는 확률은 현 $AB$가 안쪽 원을 가로지르도록 $B$가 놓일 수 있는 원의 비율과 같다.

$$P = \dfrac{B\text{가 놓일 수 있는 유리한 호의 길이}}{\text{원 전체}}$$

💡 회전 대칭 덕분에 한 점은 공짜로 고정할 수 있어, 두 점 문제가 한 점 문제로 바뀐다.

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 2

접선을 그려 경계 찾기

$A$에서 나온 현이 안쪽 원에 딱 닿는 순간은 그 원에 접할 때이다.
$A$에서 안쪽 원으로 접선을 그리고 접점을 $T$라 하자.
반지름 $OT$는 접선과 직각으로 만나므로 삼각형 $OAT$는 $T$에서 직각이고, 빗변 $OA = 2$, 변 $OT = 1$이다.
빗변이 한 변의 정확히 두 배인 직각삼각형은 정삼각형의 절반이므로, $A$에서의 각은 $30^\circ$, 중심에서의 각 $AOT$는 $60^\circ$이다.

$$OA = 2,\ OT = 1,\ \angle OTA = 90^\circ \;\Rightarrow\; \angle OAT = 30^\circ,\ \angle AOT = 60^\circ$$

💡 반지름은 접선과 항상 직각으로 만나고, 빗변이 한 변의 2배인 직각삼각형은 30-60-90 모양임을 알려 준다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.5 단계 3

접선을 중심각 규칙으로 바꾸기

접선을 $T$ 너머로 계속 이어 바깥 원과 다시 만나는 점을 $B_0$라 하자.
접선이 지름 $AO$에서 $30^\circ$ 기울어져 $A$를 떠나므로, 그 먼 점 $B_0$는 중심을 기준으로 $A$에서 $120^\circ$ 떨어진 곳에 있다.
반대쪽에서도 똑같이 일어나 $120^\circ$ 떨어진 두 번째 경계점이 생긴다.
현 $AB$가 안쪽 원을 파고드는 것은 $B$가 이 경계들을 넘어설 때, 즉 $A$와 $B$ 사이의 중심각이 $120^\circ$보다 클 때뿐이다.

$$\text{현 } AB \text{가 안쪽 원과 만남} \iff \angle AOB > 120^\circ$$

💡 두 접선이 위험 구역의 울타리를 치고, $120^\circ$를 넘는 점만이 현을 중심 가까이로 끌어당긴다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.RP.A.2 단계 4

유리한 호를 재고 비율 구하기

$A$에서 돌아가며 볼 때, 두 번째 점 $B$가 만드는 중심각이 $120^\circ$보다 커지는 것은 $B$가 원의 먼 쪽, 한쪽 $120^\circ$에서 반대쪽 $120^\circ$까지를 지날 때뿐이다.
이 유리한 구간은 $120^\circ$에서 $240^\circ$까지의 호로, 전체 $360^\circ$ 중 $120^\circ$이다.
따라서 확률은 $\tfrac{120}{360} = \tfrac13$이다.
정답은 (D)이다.

$$P = \dfrac{240^\circ - 120^\circ}{360^\circ} = \dfrac{120^\circ}{360^\circ} = \dfrac{1}{3} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 유리한 방향은 하나의 $120^\circ$ 부채꼴을 이루고, 이는 한 바퀴의 삼분의 일이다.

[1] #9 7.SP.C.7 그림은 중심을 기준으로 아무리 돌려도 똑같아 보이므로, 첫 번째 점이 어디에 있든 확률은 달라지지 않는다. 첫 번째 점 $A$를 바깥 원의 한

[2] #1 8.G.B.7 $A$에서 나온 현이 안쪽 원에 딱 닿는 순간은 그 원에 접할 때이다. $A$에서 안쪽 원으로 접선을 그리고 접점을 $T$라 하자. 반지름 $O

[3] #7 8.G.A.5 접선을 $T$ 너머로 계속 이어 바깥 원과 다시 만나는 점을 $B_0$라 하자. 접선이 지름 $AO$에서 $30^\circ$ 기울어져 $A$를

[4] #7 7.RP.A.2 $A$에서 돌아가며 볼 때, 두 번째 점 $B$가 만드는 중심각이 $120^\circ$보다 커지는 것은 $B$가 원의 먼 쪽, 한쪽 $120^\

검토

합리성 확인: 유리한 호는 정확히 바깥 원의 삼분의 일이므로 $\tfrac13$은 깔끔하고 믿을 만한 답이고, 절반보다 작다는 점도 자연스럽다. 경계도 확인해 보자. 안쪽 원에 접하는 현이 딱 갈리는 경우이고, 이는 $120^\circ$ 중심각에 대응하며, 반지름과 접선이 만드는 $30$-$60$-$90$ 삼각형과 일치한다. 이보다 가까우면 안쪽 원을 빗나가고 멀면 가로지르므로, $120^\circ$ 폭의 유리한 구간으로 $\tfrac13$이 나오는 것은 앞뒤가 맞는다.

대안 접근: 접선 그림 대신 중심에서 현까지의 거리를 쓸 수도 있다. 반지름 $2$인 원에서 중심각이 $\alpha$인 현까지의 거리는 $2\cos\tfrac{\alpha}{2}$이다. 이 거리가 $1$보다 작을 때 현이 안쪽 원과 만난다. $2\cos\tfrac{\alpha}{2} < 1 \Rightarrow \cos\tfrac{\alpha}{2} < \tfrac12 \Rightarrow \alpha > 120^\circ$. 두 번째 점이 $\alpha > 120^\circ$를 만드는 것은 $120^\circ$ 호에서이므로, 역시 $\tfrac{120}{360} = \tfrac13$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.SP.C.7 확률 모델을 세우고 이를 이용해 사건의 확률 구하기 (균등 모델을 세워 확률이 두 번째 점의 유리한 호를 원 전체로 나눈 값과 같음을 밝히는 데 사용.)
8.G.B.7 직각삼각형에서 피타고라스 정리로 변의 길이 구하기 (반지름과 접선이 만드는 직각삼각형($OA=2$, $OT=1$)을 분석해 $30$-$60$-$90$ 각을 얻는 데 사용.)
8.G.A.5 비형식적 논증으로 각의 합과 외각에 관한 사실 세우기 ($30^\circ$ 접선 각을 현에 대한 $120^\circ$ 중심각 경계로 옮기는 데 사용.)
7.RP.A.2 양 사이의 비례 관계 인식하고 나타내기 (유리한 $120^\circ$ 호를 전체 $360^\circ$에 대한 비율로 보아 확률 $\tfrac13$을 얻는 데 사용.)

⭐ 한 점을 고정해 두면, 현이 안쪽 원에 닿는 것은 두 번째 점이 $120^\circ$보다 멀리 놓일 때뿐이고, 그것은 바깥 원의 삼분의 일 조각 하나이다.