AMC 10 · 2015 · #25

학년 8 geometry-2d

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Region

geometric-probabilityprobability-basicarea-circles casework ↑ 선수 지식: geometric-probability

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

한 변의 길이가 1인 정사각형이 있다. 두 점을 정사각형의 경계(네 변) 위 어딘가에 서로 독립적으로, 고르게 무작위로 떨어뜨린다. 두 점 사이의 직선 거리가 1/2 이상일 확률을 구하라. 그 확률은 기약 형태로 a-bπ/c가 되며, a+b+c를 답하면 된다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

두 점은 같은 변에 놓이거나, 한 꼭짓점을 공유하는 두 변에 놓이거나, 마주 보는 두 변에 놓일 수 있고, 거리는 각 상황마다 완전히 다르게 움직인다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 바로 그 세 경우로 문제를 나누고 대칭성으로 각 경우의 확률을 정한다. 한 경우 안에서 도구 #4(변수 도입하기)는 각 점의 위치를 꼭짓점에서 떨어진 거리로 이름 붙여 "거리 1/2 이상"을 두 좌표에 대한 부등식으로 바꾼다. 도구 #1(그림 그리기)은 그 두 좌표를 단위 정사각형 위에 그려 확률을 넓이로 만든다. 꼭짓점을 공유하는 경우에는 조건을 만족하는 영역이 까다로우므로, 도구 #16(관점 바꾸기)으로 실패하는 작은 사분원을 대신 재서 빼낸다. 세 경우의 확률을 각 경우가 일어나는 빈도로 가중해 더하면 최종 답이 조립된다.

1STEP 1

점이 놓인 위치로 쪼개기

첫 점을 고정하면 둘째 점은 같은 변·이웃 변(2/4=1/2)·마주 변 중 하나에 놓인다 — 세 경우를 따로 다룬다.

P(같은 변)=1/4, P(이웃 변)=1/2, P(마주 변)=1/4

2STEP 2

같은 변: 넓이 모형

같은 변 위 두 위치는 단위 정사각형의 무작위 점이 되어, 해당 영역 넓이가 곧 확률 1/4이다.

P_같은=P (|x-y| ≥ 1/2)=2·1/2·1/2·1/2=1/4

3STEP 3

이웃 변: 거리 세우기

공유 꼭짓점을 원점으로 놓아, 두 점 사이 거리를 x와 y에 대한 피타고라스 빗변으로 만든다.

거리²=x²+y², 거리 ≥ 1/2 ⇔ x²+y² ≥ 1/4

4STEP 4

이웃 변: 실패하는 사분원 빼기

실패 영역은 반지름 1/2인 사분원이므로, 그 넓이를 빼면 확률은 1-π/16이다.

P_이웃=1-(1/4·π(1/2)²)/1=1-π/16

5STEP 5

마주 변: 항상 충분히 멀다

마주 변 위의 점은 항상 1 이상 떨어져 1/2을 넘으므로, 이 경우의 확률은 1이다.

거리 ≥ 1 ≥ 1/2 → P_마주=1

6STEP 6

경우를 평균 내어 답 읽기

세 경우를 1/4, 1/2, 1/4로 가중해 더하면 a+b+c=59, 답은 (A)이다.

P=1/4·1/4+1/2 (1-π/16)+1/4·1=(26-π)/32 → a+b+c=59 (A)

정답

결과 26-π/32≈26-3.14/32≈22.86/32≈ 0.71은 0과 1 사이의 타당한 확률이다. 또한 평균 낸 세 경우의 값 사이에 올바르게 위치한다: 0.25(같은 변), 1-π/16≈0.80(이웃 변), 1(마주 변). 이웃·마주 경우가 함께 가중치 3/4을 지니므로 결과가 큰 값 쪽으로 기우는 것도 맞다. 끝으로 gcd(26,1,32)=1이라 a-bπ/c 꼴이 정말로 기약이고 a+b+c=59가 강제되어 (A)와 들어맞는다.

💡핵심 정리

두 점이 어느 변에 놓였는지로 나누고, 각 경우를 단위 정사각형 위 넓이로 바꾼 뒤 빈도로 평균 낸다.

점이 놓인 위치로 쪼개기
같은 변: 넓이 모형
이웃 변: 거리 세우기
이웃 변: 실패하는 사분원 빼기
마주 변: 항상 충분히 멀다
경우를 평균 내어 답 읽기