AMC 10 · 2014 · #3
학년 6 arithmetic랜디는 전체 여행 거리의 처음 31은 자갈길에서, 그 다음 20마일은 포장도로에서, 나머지 51은 흙길에서 운전했다. 랜디의 전체 여행 거리는 몇 마일인가?
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AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 랜디의 여행은 세 구간으로 나뉜다. 전체 여행의 처음 $\frac{1}{3}$은 자갈길, 그다음 $20$마일은 포장도로, 마지막 $\frac{1}{5}$은 흙길이다. 여행의 전체 거리를 마일 단위로 구하여라.
주어진 것: 자갈길 구간은 전체 여행의 $\frac{1}{3}$이다; 포장도로 구간은 정확히 $20$마일이다; 흙길 구간은 전체 여행의 $\frac{1}{5}$이다; 세 구간을 합치면 전체 여행이 된다; 선택지: (A) $30$, (B) $\frac{400}{11}$, (C) $\frac{75}{2}$, (D) $40$, (E) $\frac{300}{7}$
구하는 것: 여행의 전체 거리 (마일)
이해
문제 재정리: 랜디의 여행은 세 구간으로 나뉜다. 전체 여행의 처음 $\frac{1}{3}$은 자갈길, 그다음 $20$마일은 포장도로, 마지막 $\frac{1}{5}$은 흙길이다. 여행의 전체 거리를 마일 단위로 구하여라.
주어진 것: 자갈길 구간은 전체 여행의 $\frac{1}{3}$이다; 포장도로 구간은 정확히 $20$마일이다; 흙길 구간은 전체 여행의 $\frac{1}{5}$이다; 세 구간을 합치면 전체 여행이 된다; 선택지: (A) $30$, (B) $\frac{400}{11}$, (C) $\frac{75}{2}$, (D) $40$, (E) $\frac{300}{7}$
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기
전체 여행은 나머지 모든 것을 재는 기준이 되는 하나의 수이므로, 도구 #4 (변수 도입하기)로 이것을 $x$라 이름 붙이면 "전체의 $\frac{1}{3}$"과 "전체의 $\frac{1}{5}$"이 각각 $\frac{x}{3}$, $\frac{x}{5}$이 된다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)은 일을 깔끔하게 나눈다. 먼저 두 분수 구간을 합치고, 그다음 포장도로가 채워야 할 분수를 알아낸다. 도구 #13 (대수로 바꾸기)은 "부분을 합치면 전체"라는 문장을 하나의 방정식으로 옮겨서, $20$마일이 떠다니지 않고 $x$를 딱 정해 주도록 한다.
실행 — 정답: E
6.EE.B.6 단계 1 전체 여행에 이름 붙이기
- 전체 여행 거리를 $x$마일이라 하자.
- 그러면 자갈길 구간은 $\frac{x}{3}$, 흙길 구간은 $\frac{x}{5}$, 포장도로 구간은 주어진 $20$마일이다.
💡 미지의 전체에 이름을 붙이면 "전체의 몇 분의 몇"이 모두 더할 수 있는 진짜 식이 된다.
5.NF.A.1 단계 2 두 분수 구간 합치기
- 자갈길과 흙길 분수를 더해서 둘이 합쳐 전체의 얼마를 차지하는지 본다.
- 공통분모 $15$를 쓰면 $\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$, $\frac{1}{5} = \frac{3}{15}$이므로 합치면 전체의 $\frac{8}{15}$이다.
💡 두 분수를 같은 분모로 바꾸면 하나의 몫으로 합쳐 전체의 한 몫으로 만들 수 있다.
6.EE.B.7 단계 3 포장도로의 몫 구하기
- 전체 여행은 $1$, 즉 $\frac{15}{15}$이다.
- 자갈길과 흙길이 $\frac{8}{15}$을 차지하므로 포장도로는 남은 부분을 채워야 한다: $\frac{15}{15} - \frac{8}{15} = \frac{7}{15}$이 전체의 포장도로 몫이다.
- 이 남은 몫이 바로 포장도로 $20$마일이다.
💡 두 분수가 덮지 못한 나머지를 포장도로가 덮으므로, 포장도로의 몫이 $20$마일과 같다.
6.NS.A.1 단계 4 전체 거리 구하기
- $\frac{7}{15}$을 곱한 것을 풀기 위해 양변에 그 역수 $\frac{15}{7}$을 곱한다.
- 그러면 $x = 20 \cdot \frac{15}{7} = \frac{300}{7}$마일이 되고, 이는 선택지 (E)와 일치한다.
💡 역수를 곱하면 $\frac{7}{15}$이 벗겨지고 전체 여행 $x$만 남는다.
6.EE.B.6 전체 여행 거리를 $x$마일이라 하자. 그러면 자갈길 구간은 $\frac{x}{3}$, 흙길 구간은 $\frac{x}{5}$, 포장도로 구간은 5.NF.A.1 자갈길과 흙길 분수를 더해서 둘이 합쳐 전체의 얼마를 차지하는지 본다. 공통분모 $15$를 쓰면 $\frac{1}{3} = \frac{5}{15 6.EE.B.7 전체 여행은 $1$, 즉 $\frac{15}{15}$이다. 자갈길과 흙길이 $\frac{8}{15}$을 차지하므로 포장도로는 남은 부분을 채워야 6.NS.A.1 $\frac{7}{15}$을 곱한 것을 풀기 위해 양변에 그 역수 $\frac{15}{7}$을 곱한다. 그러면 $x = 20 \cdot \fra 검토
합리성 확인: $x = \frac{300}{7}$을 다시 넣어 보면 자갈길 $= \frac{1}{3}\cdot\frac{300}{7} = \frac{100}{7}$, 흙길 $= \frac{1}{5}\cdot\frac{300}{7} = \frac{60}{7}$이다. 둘의 합은 $\frac{160}{7}$이고, 포장도로 $20 = \frac{140}{7}$마일을 더하면 $\frac{300}{7}$으로 정확히 전체 여행이 된다. 값 $\frac{300}{7} \approx 42.9$마일은 $40$보다 조금 크며, 이는 포장도로가 전체의 $\frac{7}{15}$(절반 미만)뿐이므로 전체 여행이 $20$의 두 배보다 커야 한다는 점과 맞아떨어진다.
대안 접근: 변수를 붙이지 않고 몫으로 바로 따져 볼 수도 있다 (도구 #15, 다르게 정리하기). 자갈길과 흙길을 합치면 $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{8}{15}$이므로 포장도로는 남은 $\frac{7}{15}$이다. 전체의 $\frac{7}{15}$이 $20$마일이면 전체의 $\frac{1}{15}$은 $\frac{20}{7}$마일이고, 전체 $\frac{15}{15}$은 $15\cdot\frac{20}{7}=\frac{300}{7}$마일이다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
5.NF.A.1분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 (공통분모 $15$로 $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{8}{15}$을 더하고 $1$에서 빼서 포장도로 몫 $\frac{7}{15}$을 구하기.)6.EE.B.6변수로 수를 나타내고 식을 세워 문제 해결하기 ($x$가 전체 여행을 나타내게 하고 자갈길과 흙길 구간을 $\frac{x}{3}$, $\frac{x}{5}$로 쓰기.)6.EE.B.7px = q 꼴의 방정식을 세우고 풀어 실생활 문제 해결하기 (여행의 남은 몫이 $20$마일 포장도로라는 사실로부터 방정식 $\frac{7}{15}x = 20$을 세우기.)6.NS.A.1분수의 나눗셈의 몫을 해석하고 계산하여 문제 해결하기 (역수 $\frac{15}{7}$을 곱해 $\frac{7}{15}x = 20$을 풀어 $x = \frac{300}{7}$을 구하기.)
⭐ $20$마일은 두 분수가 남긴 나머지 몫이므로, 먼저 그 남은 분수를 구하면 된다.
⭐ $20$마일은 두 분수가 남긴 나머지 몫이므로, 먼저 그 남은 분수를 구하면 된다.
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