AMC 10 · 2014 · #3

학년 6 rate-ratio

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

linear-equations-one-varfraction-arithmetic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

랜디의 여행은 세 구간으로 나뉜다. 전체 여행의 처음 1/3은 자갈길, 그다음 20마일은 포장도로, 전체 여행의 마지막 1/5은 흙길이다. 여행의 전체 거리를 마일 단위로 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\frac{400}{11}$

(C)

$\frac{75}{2}$

(D)

(E)

$\frac{300}{7}$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

전체 여행은 나머지 모든 것을 재는 기준이 되는 하나의 수이므로, 도구 #4 (변수 도입하기)로 이것을 x라 이름 붙이면 "전체의 1/3"과 "전체의 1/5"이 각각 x/3, x/5이 된다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)은 일을 깔끔하게 나눈다. 먼저 두 분수 구간을 합치고, 그다음 포장도로가 채워야 할 분수를 알아낸다. 도구 #13 (대수로 바꾸기)은 "부분을 합치면 전체"라는 문장을 하나의 방정식으로 옮겨서, 20마일이 떠다니지 않고 x를 딱 정해 주도록 한다.

1STEP 1

전체 여행에 이름 붙이기

전체 여행을 x마일이라 하면 자갈길과 흙길은 x/3, x/5이고 포장도로는 20마일 그대로다.

자갈길 = x/3, 포장도로 = 20, 흙길 = x/5

2STEP 2

두 분수 구간 합치기

공통분모 15로 고치면 1/3 = 5/15, 1/5 = 3/15이므로 두 구간은 전체의 8/15을 덮는다.

1/3 + 1/5 = 5/15 + 3/15 = 8/15

3STEP 3

포장도로의 몫 구하기

전체는 15/15이므로 포장도로가 나머지를 채운다: 15/15 - 8/15 = 7/15이 곧 20마일이다.

1 - 8/15 = 7/15, 따라서 7/15x = 20

4STEP 4

전체 거리 구하기

7/15 · x = 20의 양변에 역수 15/7을 곱하면 x = 20 · 15/7 = 300/7마일, 답은 (E).

x = 20 · 15/7 = 300/7 → (E)

정답

300/7

x = 300/7을 다시 넣어 보면 자갈길 = 1/3·300/7 = 100/7, 흙길 = 1/5·300/7 = 60/7이다. 둘의 합은 160/7이고, 포장도로 20 = 140/7마일을 더하면 300/7으로 정확히 전체 여행이 된다. 값 300/7 ≈ 42.9마일은 40보다 조금 크며, 이는 포장도로가 전체의 7/15(절반 미만)뿐이므로 전체 여행이 20의 두 배보다 커야 한다는 점과 맞아떨어진다.

💡핵심 정리

20마일은 두 분수가 남긴 나머지 몫이므로, 먼저 그 남은 분수를 구하면 된다.

전체 여행에 이름 붙이기
두 분수 구간 합치기
포장도로의 몫 구하기
전체 거리 구하기

전체 여행에 이름 붙이기

두 분수 구간 합치기

포장도로의 몫 구하기

전체 거리 구하기

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