AMC 10 · 2015 · #17

학년 7 geometry-3d
유형 Solid Volume by Decomposition └ 세부 유형 Sum of Primitive Solids
spatial-visualizationvolume-rectangular-prismarea-triangles identify-subproblems ↑ 선수 지식: volume-rectangular-prism
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
직육면체(직사각기둥)의 모서리 길이가 각각 3, 4, 5 입니다. 여섯 면의 중심점을 각각 찍고, 그 여섯 중심을 이어 팔면체를 만듭니다. 이 팔면체의 부피를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\dfrac{75}{12}$
(B)
10
(C)
12
(D)
$10\sqrt2$
(E)
15

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 공간 상상하기

이것은 3차원 도형 속에 숨은 3차원 도형이므로, 핵심 움직임은 도구 #17(공간 상상하기)입니다: 여섯 면의 중심이 실제로 어디에 놓이는지 머릿속에 그립니다. 그 그림을 숫자로 못박기 위해 도구 #1(그림 그리기)로 직육면체를 좌표에 놓고 중심들을 읽어냅니다. 그림이 분명해지면 팔면체는 한가운데에서 깔끔하게 갈라져 하나의 평평한 밑면을 공유하는 똑같은 두 피라미드가 됩니다 — 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 공유 밑면의 넓이와 한 피라미드의 높이를 구해 피라미드 하나의 부피를 계산하고 두 배 합니다.

1STEP 1

직육면체를 좌표에 놓기

직육면체를 (0,0,0) 부터 (5,4,3) 까지 놓으면, 각 면의 중심은 그 면의 중점이라 모든 좌표가 끝값 아니면 절반값입니다.

(0,2,1.5), (5,2,1.5), (2.5,0,1.5), (2.5,4,1.5), (2.5,2,0), (2.5,2,3)
2STEP 2

두 피라미드 모양 알아채기

네 중심이 높이 z=1.5 를 공유해 평평한 가운데 밑면을 이루고, 나머지 둘은 그 바로 아래위에 있으니 밑면끼리 붙은 두 피라미드입니다.

3STEP 3

공유 밑면 넓이 구하기

가운데 밑면은 수직 대각선이 5 와 4 인 마름모라서, 넓이는 두 대각선 곱의 절반인 10 입니다.

밑면 넓이 = 1/2 d₁ d₂ = 1/2· 5 · 4 = 10
4STEP 4

한 피라미드의 높이를 구해 마무리하기

각 피라미드는 밑면에서 1.5 올라가니, 하나는 1/3·10·1.5 = 5, 팔면체는 그 두 배인 10 — 답 (B).

V = 2·1/3 (10)(1.5) = 2· 5 = 10
정답
10
직육면체 전체와 비교합니다. 그 부피는 3·4·5 = 60 입니다. 팔면체는 10 으로 나왔는데, 이는 정확히 직육면체의 육분의 일입니다. 이 비율은 우연이 아닙니다: 어떤 직육면체든 면의 중심을 이으면 항상 직육면체 부피의 육분의 일인 팔면체가 나옵니다. 마름모 밑면이 단면 넓이의 절반이고, 두 피라미드가 함께 셋째 차원을 피라미드의 삼분의 일 계수로 쓰기 때문입니다(1/2·1/3· 2 = 1/6). 깔끔한 10 이 나와 직육면체의 60 보다 한참 작고 이 알려진 육분의 일 비율과 맞으니 결과가 확인됩니다.
💡핵심 정리

까다로운 3D 도형은 한가운데를 가로질러 잘라라: 이 팔면체는 평평한 밑면을 공유하는 똑같은 두 피라미드일 뿐이니, 밑면 넓이와 높이를 구해 피라미드 하나를 두 배 해라.

  • 직육면체를 좌표에 놓기
  • 두 피라미드 모양 알아채기
  • 공유 밑면 넓이 구하기
  • 한 피라미드의 높이를 구해 마무리하기

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