AMC 10 · 2015 · #8

학년 8 arithmetic
유형 Paper Fold-and-Cut Symmetry └ 세부 유형 Composition of Reflections of a Pictured Figure
rotation-isometryreflection-symmetrytransformations-compositionspatial-visualization identify-subproblems ↑ 선수 지식: rotation-isometryreflection-symmetry
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
평면 위에 알파벳 F 가 있습니다. 이 F 에 순서대로 세 번의 변환을 가합니다 — 원점을 중심으로 90° 시계 방향 회전, 그다음 y 축에 대한 반사, 마지막으로 원점을 중심으로 반 바퀴(180°) 회전. 다섯 개의 F 그림 중 변환이 끝난 모습이 어느 것인지 고르세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
Image choice (A) — see answer-choice figure
(B)
Image choice (B) — see answer-choice figure
(C)
Image choice (C) — see answer-choice figure
(D)
Image choice (D) — see answer-choice figure
(E)
Image choice (E) — see answer-choice figure

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 공간 상상하기

세 번의 회전·반사를 한꺼번에 머릿속에 그리기는 어렵습니다. 그래서 도구 #17(공간 상상하기) 이 엔진입니다 — 변환을 한 번에 하나씩 처리하며 F 의 자세 변화를 지켜봅니다. 그림이 흐트러지지 않도록 도구 #1(그림 그리기) 로 F 를 화살표 두 개로 고정합니다 — 기둥(긴 획이 향하는 방향) 과 팔(가지가 향하는 방향). 이 두 화살표에 'F 가 거울상으로 뒤집힐 수 있다' 는 사실까지 더하면 F 의 방향이 완전히 정해집니다. 각 변환을 (x,y)↦(y,-x) 같은 좌표 규칙으로 따라가면 머릿속 회전이 어긋나지 않습니다. 세 번째 변환 뒤에는 도구 #3(가능성 지우기) 으로 최종 자세 — 특히 거울상이라는 '손잡이 방향' — 를 다섯 그림과 대조해 맞는 하나를 고릅니다.

1STEP 1

F 를 화살표 두 개로 고정하기

처음 F 를 두 화살표로 나타냅니다 — 기둥은 위, 팔은 오른쪽 — 아직 안 뒤집힌 F 의 방향은 이걸로 정해집니다.

기둥 → +y, 팔 → +x
2STEP 2

변환 1: 90도 시계 방향 회전

90° 시계 회전은 위를 오른쪽으로, 오른쪽을 아래로 보내므로 기둥은 오른쪽, 팔은 아래 를 향합니다.

(x,y)↦(y,-x): 기둥→ +x, 팔→ -y
3STEP 3

변환 2: y 축에 대한 반사

y 축 반사는 좌우만 뒤집으므로 기둥은 왼쪽, 팔은 그대로 아래 — 이제 F 는 좌우가 뒤집힌 거울상입니다.

(x,y)↦(-x,y): 기둥→ -x, 팔→ -y
4STEP 4

변환 3: 원점 중심 반 바퀴 회전

반 바퀴 회전은 두 방향을 모두 뒤집으므로 기둥은 다시 오른쪽, 팔은 위 를 향합니다.

(x,y)↦(-x,-y): 기둥→ +x, 팔→ +y
5STEP 5

최종 F 를 읽고 맞추기

세 변환은 y=x 에 대한 한 번의 거울 뒤집기 — 기둥 오른쪽, 팔 위 — 이 누운 거울상 F 는 선택지 (E) 뿐입니다.

합성=(x,y)↦(y,x); 기둥→ +x, 팔→ +y → (E)
정답
Image choice (E) — see answer-choice figure
세 변환을 하나로 합쳐 확인합니다. 순서대로 행렬을 곱하면(90° 시계 회전, y 축 반사, 180° 회전) (x,y)↦(y,x), 즉 y=x 에 대한 반사로 정리됩니다. 그 행렬식은 -1 이므로 결과는 한 번의 거울 뒤집기 — 반사 1번과 회전 2번(방향을 뒤집는 변환이 총 1번) 을 썼다는 사실과 일치합니다. 똑바로 선 F 를 y=x 에 대해 반사하면 위를 향하던 기둥이 오른쪽으로, 오른쪽을 향하던 팔이 위로 가는데, 이는 정확히 선택지 (E) 의 자세입니다. 단계별 화살표 추적과 한 번에 계산한 행렬이 모두 일치하므로 (E) 는 확실합니다.
💡핵심 정리

세 변환을 한꺼번에 떠올리지 말고, 기둥과 가지 두 화살표만 한 변환씩 따라가세요 — 그리고 반사가 한 번이면 F 는 좌우가 뒤집힌 채로 남는다는 걸 기억하세요.

  • F 를 화살표 두 개로 고정하기
  • 변환 1: 90도 시계 방향 회전
  • 변환 2: y 축에 대한 반사
  • 변환 3: 원점 중심 반 바퀴 회전
  • 최종 F 를 읽고 맞추기

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