AMC 10 · 2016 · #13

학년 7 arithmetic
유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Universe Total Minus Known
logical-deductionpermutations-basic invariant-monovariantcasework ↑ 선수 지식: logical-deduction
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
다섯 친구가 왼쪽에서 오른쪽으로 1번부터 5번까지 한 줄로 앉아 있다. 에이다(Ada)가 자리를 비운 사이, 비(Bea)는 오른쪽으로 2칸, 세시(Ceci)는 왼쪽으로 1칸 옮겼고, 디(Dee)와 에디(Edie)는 서로 자리를 바꿨다. 모두가 옮긴 뒤 에이다가 앉을 수 있는 자리는 양 끝 자리 중 하나뿐이다. 에이다가 자리를 비우기 전에 앉아 있던 자리를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1
(B)
2
(C)
3
(D)
4
(E)
5

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

전체 좌석 배치를 통째로 찾는 대신, 도구 #4(변수 도입하기)로 각 사람을 부호 붙은 수 하나, 즉 얼마나 옮겼는지로 잰다(오른쪽은 +, 왼쪽은 -). 핵심은 아무도 줄에 들어오거나 나가지 않는다는 것이다. 그래서 누군가 떠난 자리는 다른 누군가가 채우고, 다섯 사람의 부호 붙은 이동의 합은 반드시 0이 된다. 도구 #1(그림 그리기)로 좌우 수직선을 머릿속에 또렷이 두고, 에이다의 이동을 알아낸 뒤에는 도구 #3(가능성 지우기)으로 끝자리 단서를 써서 두 끝 중 하나를 지우고 출발 자리를 확정한다.

1STEP 1

각 이동을 부호 붙은 수로 바꾸기

오른쪽은 +, 왼쪽은 -이라 비는 +2, 세시는 -1, 디·에디 맞바꿈은 0이다.

비=+2, 세시=-1, 디+에디=0
2STEP 2

다섯 이동의 합은 0

처음의 다섯 자리를 그대로 다시 채우니 다섯 부호 이동의 합은 0이어야 한다. 에이다의 이동을 a로 두자.

2 + (-1) + 0 + a = 0
3STEP 3

에이다의 이동 구하기

알려진 이동을 더하면 2 + (-1) + 0 = 1이라, 에이다의 이동이 이를 되돌려 a = -1, 즉 왼쪽 한 칸이다.

1 + a = 0 → a = -1
4STEP 4

끝자리 단서로 출발 자리 찾기

왼쪽으로 옮기면 5번엔 못 닿고(6번이 필요), 에이다는 1번에 앉았으니 출발은 그 오른쪽 한 칸인 2번 — (B).

끝 ∈ {1,5}, 이동 -1 → 끝=1, 출발=1-(-1)=2 → (B)
정답
2
맞는 배치를 하나 만들어 확인한다. 에이다 2, 비 1, 세시 3, 디 4, 에디 5로 시작하자. 그러면 비 1→3, 세시 3→2, 디와 에디는 5번과 4번으로 자리를 바꾼다. 차지된 자리는 {2,3,4,5}가 되어 끝자리인 1번이 에이다에게 남는다. 모든 규칙이 맞고 에이다는 2번에서 시작했으므로 (B)가 확인된다.
💡핵심 정리

각 이동에 오른쪽은 +, 왼쪽은 - 부호를 붙이면, 아무도 줄을 떠나지 않으니 모든 이동이 상쇄되어 0이 되고, 따라서 에이다의 이동은 -1이라 출발 자리는 2번이다.

  • 각 이동을 부호 붙은 수로 바꾸기
  • 다섯 이동의 합은 0
  • 에이다의 이동 구하기
  • 끝자리 단서로 출발 자리 찾기

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