AMC 10 · 2016 · #16

학년 8 geometry-2d
유형 Paper Fold-and-Cut Symmetry └ 세부 유형 Composition of Reflections of a Pictured Figure
transformations-compositionrotation-isometryreflection-symmetry work-backwards ↑ 선수 지식: transformations-composition
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
삼각형 ABC의 꼭짓점은 A(0,2), B(-3,2), C(-3,0)이다. 먼저 x축에 대해 반사하여 △ A'B'C'을 얻고, 그 상을 원점을 중심으로 반시계 방향으로 90^° 회전하여 △ A''B''C''을 얻는다. △ A''B''C''을 원래의 △ ABC로 되돌리는 한 번의 변환은 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
counterclockwise rotation about the origin by 90°
(B)
clockwise rotation about the origin by 90°
(C)
reflection about the x-axis
(D)
reflection about the line y = x
(E)
reflection about the y-axis

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 공간 상상하기

이 문제는 반사와 회전이 점을 어떻게 옮기는지에 관한 것이므로 도구 #17(공간 상상하기)이 중심이 된다: 뒤집기와 돌리기가 평면에 작용하는 모습을 머릿속으로 그린다. 세 꼭짓점을 모두 두 번씩 끌고 다니는 대신 도구 #4(변수 도입하기)로 일반 점 (x,y) 하나를 추적해 전체 두 단계 과정의 좌표 규칙을 찾는다. '△ ABC로 되돌린다'는 표현은 도구 #11(거꾸로 풀기)의 신호다: 합쳐진 변환을 되돌리는 이동을 찾으면 된다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 선택지에 대해 답을 확인한다.

1STEP 1

일반 점 하나 추적하기

대표 점 (x,y) 하나만 따라가면 모든 꼭짓점이 같은 규칙을 따르므로 변환 전체를 담아낸다.

P=(x,y)
2STEP 2

x축에 대해 반사하기

x축 반사는 가로 좌표는 그대로 두고 세로 좌표 부호만 바꾸므로 (x,y)는 (x,-y)로 간다.

(x,y) → (x,-y)
3STEP 3

반시계 방향 90^° 회전하기

원점 중심 반시계 90^° 회전은 (a,b)를 (-b,a)로 보내므로 (x,-y)는 (y,x)로 간다.

(x,-y) → {90^° 반시계} (-(-y),x)=(y,x)
4STEP 4

합쳐진 이동의 정체 밝히기

두 이동을 합치면 (x,y)는 (y,x)로 가는데, 좌표를 맞바꾸는 것은 바로 직선 y=x 반사다.

(x,y) ⟶ (y,x) = y=x에 대한 반사
5STEP 5

되돌리기로 제자리 찾기

반사는 자기 자신을 되돌리므로 같은 직선에 다시 반사하면 (y,x)가 (x,y)로 돌아온다. 답은 (D)다.

(y,x) → (x,y) → (D)
정답
reflection about the line y = x
실제 꼭짓점으로 규칙을 확인한다. A(0,2)는 (0,-2)로 반사된 뒤 (2,0)=A''로 회전한다. A''(2,0)을 y=x에 대해 반사하면 (0,2)=A로, 정확히 원래 위치다. 다른 선택지는 실패한다: 반시계 방향 90^° 회전은 B''(2,-3)을 (3,2)로 보내는데 이는 B(-3,2)가 아니다; x축 반사는 A''(2,0)을 (2,0)으로 보내는데 이는 A(0,2)가 아니다; y축 반사는 A''(2,0)을 (-2,0)으로 보내는데 이는 A(0,2)가 아니다. 오직 선택지 (D)만이 모든 꼭짓점에 대해 성립한다.
💡핵심 정리

일반 점 (x,y) 하나를 따라가 보면 뒤집고 돌리기는 그것을 (y,x)로 보내는데, 이는 바로 y=x에 대한 거울 반사이고, 같은 직선에 대해 다시 반사하면 제자리로 돌아오므로 답은 (D)이다.

  • 일반 점 하나 추적하기
  • x축에 대해 반사하기
  • 반시계 방향 90^° 회전하기
  • 합쳐진 이동의 정체 밝히기
  • 되돌리기로 제자리 찾기

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