AMC 10 · 2016 · #7

학년 6 arithmetic
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
mean-median-mode-range convert-to-algebra ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
일곱 개의 자료 값이 60, 100, x, 40, 50, 200, 90 이다. 이 일곱 값의 평균, 중앙값, 최빈값이 모두 같은 수 x 와 같다. x 를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
50
(B)
60
(C)
75
(D)
90
(E)
100

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 대수로 바꾸기

평균 조건이 가장 강력하다. 평균 조건은 x 를 정확히 하나로 정해주는 단 하나의 방정식이기 때문이다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 "평균이 x 와 같다"는 문장을 방정식 (540+x)/7 = x 로 바꾸면 한 번에 풀린다. 그런 다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 일곱 수를 정렬하고 도구 #3(가능성 지우기)로 같은 x 가 중앙값·최빈값 조건도 만족함을 확인하여, 답이 우연이 아니라 일관됨을 확인한다.

1STEP 1

알려진 여섯 수 더하기

여섯 값은 그냥 수이니 더한다: 60+100+40+50+200+90 = 540, 일곱 값의 합은 540 + x.

60+100+40+50+200+90 = 540
2STEP 2

"평균이 x"를 방정식으로 바꾸기

평균은 (540+x)/7 = x; 분수를 없애면 540 = 6x, 따라서 x = 90.

(540+x)/7 = x → 540+x = 7x → 540 = 6x → x = 90
3STEP 3

정렬해서 중앙값 확인하기

x=90 을 넣고 정렬하면 40, 50, 60, 90, 90, 100, 200. 일곱 값의 4 번째인 중앙값은 90 으로 x 와 같다.

40, 50, 60, 90, 90, 100, 200 → 중앙값 = 90
4STEP 4

최빈값 확인하고 답 읽기

40, 50, 60, 90, 90, 100, 200 에서 90 만 반복되니 최빈값도 90 — 평균·중앙값·최빈값이 모두 일치, 답은 (D).

최빈값 = 90 = 중앙값 = 평균 → x = 90 → (D)
정답
90
세 가지 측도가 모두 90 으로 떨어지며, 이는 문제의 요구와 정확히 일치하고 90 은 선택지 (D)에 있다. 평균을 빠르게 점검하면, 잠시 x 를 빼고 나머지 여섯 수의 평균을 구해도 540/6 = 90 이다. 어떤 집합의 평균이 이미 그 집합 안에 있을 때 같은 값을 한 번 더 넣어도 평균은 변하지 않으므로, 일곱 값 전체의 평균도 90 으로 x 와 일치한다. 또한 90 은 자료의 한가운데에 자연스럽게 놓이는데, 이는 중앙값과 평균이 마땅히 가져야 할 위치이다.
💡핵심 정리

평균이 어떤 미지수와 같다고 하면, 전체 합을 그 미지수의 개수만큼의 복사본과 같다고 두어라. 그런 다음 목록을 정렬해 중앙값과 최빈값을 다시 확인하라.

  • 알려진 여섯 수 더하기
  • "평균이 x"를 방정식으로 바꾸기
  • 정렬해서 중앙값 확인하기
  • 최빈값 확인하고 답 읽기

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