AMC 10 · 2016 · #17
학년 6 geometry-3d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
문제가 '가질 수 있는 가장 큰 값'을 물으므로 이것은 최적화 문제이고, 도구 #14(극단의 원리)가 중심축이다. 하지만 합을 최대로 밀어붙이기 전에 합을 깔끔한 식으로 정리해야 한다. 도구 #17(공간 상상하기)은 각 꼭짓점이 마주 보는 면의 각 쌍에서 한 면씩을 고른다는 것을 보여 주고, 도구 #4(변수 도입하기)는 마주 보는 쌍에 이름을 붙여 지저분한 여덟 항의 합을 깔끔한 곱 (a+a')(b+b')(c+c') 로 인수분해하게 해 준다. 합이 총합이 고정된 세 조각의 곱이 되고 나면, 극단의 원리가 그 조각들을 똑같이 만들라고 알려 주며, 도구 #6(추측하고 확인하기)이 똑같은 분할이 실제로 만들 수 있는 것임을, 그리고 한쪽으로 치우친 분할은 점수가 더 낮음을 확인해 준다.
꼭짓점에서 만나는 면 보기
어느 꼭짓점의 세 면도 마주 보는 짝이 아니라, 세 쌍에서 한 수씩 골라 모인다.
마주 보는 면은 같은 꼭짓점에 닿을 수 없으므로, 각 꼭짓점은 마주 보는 쌍마다 한 수씩을 강제로 골라야 한다.
6.G.A.4Visualize Spatial Relationships마주 보는 쌍에 이름 붙이기
마주 보는 쌍을 (a,a'), (b,b'), (c,c') 로 이름 붙이면, 여덟 꼭짓점 곱은 각 쌍에서 한 문자씩 고른다.
마주 보는 면에 문자를 붙이면 '정육면체의 여덟 꼭짓점'이 여덟 개의 깔끔한 대수 항으로 바뀐다.
6.EE.A.2Use Matrix Logic여덟 항의 합 인수분해하기
묶어서 인수분해하면 여덟 곱은 세 쌍-합의 단일한 곱 (a+a')(b+b')(c+c') 으로 정리된다.
(a+a')(b+b')(c+c') 를 전개하면 꼭짓점마다 정확히 한 항이 나오므로, 합과 곱은 같은 것이다.
6.EE.A.3Use Matrix Logic세 합을 똑같이 만들기
세 쌍-합은 언제나 27 이고, 합이 고정되면 고르게 나눌 때 곱이 최대 — 여기선 9 × 9 × 9 이다.
총합이 고정되어 있으면, 조각을 똑같이 나누는 것이 치우치게 나누는 것보다 곱이 크다 — 고르게 퍼뜨릴수록 곱이 가장 많이 쌓인다.
6.EE.A.1Evaluate Finite Differences직접 만들어 확인하기
짝짓기 (2,7), (3,6), (4,5) 는 모든 쌍의 합을 9로 만들어, 합은 9 · 9 · 9 = 729 — 즉 (D) 에 도달한다.
완벽하게 균형 잡힌 짝짓기 (2,7),(3,6),(4,5) 가 존재하므로, 이상적인 9×9×9 는 꿈이 아니라 실제로 도달할 수 있다.
6.EE.A.1Guess And Check정육면체-합은 결국 (위+아래)(앞+뒤)(좌+우) 이고, 총합이 고정된 세 수는 고르게 나눌 때 곱이 가장 크다 — 그러니 마주 보는 모든 쌍의 합을 9로 만들자.
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- 세 합을 똑같이 만들기
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