AMC 10 · 2017 · #7

학년 8 geometry-2d
유형 Path Length Comparison & Shortest Path └ 세부 유형 Shortest Route in Weighted Network
pythagorean-theorempercentageratio-proportion convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
정사각형 모양의 들판에서 한 사람은 두 변을 따라(동쪽으로 간 뒤 북쪽으로) 남서쪽 모서리에서 북동쪽 모서리까지 가고, 다른 사람은 같은 두 모서리를 잇는 곧은 대각선으로 갑니다. 대각선 경로가 두 변 경로보다 몇 퍼센트 더 짧은지 보기 중 가장 가까운 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$30\%$
(B)
$40\%$
(C)
$50\%$
(D)
$60\%$
(E)
$70\%$

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

이것은 도형 위의 경로 문제이므로 도구 #1 (그림 그리기)로 시작하는 것이 자연스럽습니다: 정사각형을 그리고 두 경로를 표시합니다. 두 경로는 서로 독립적인 두 측정으로 나뉘므로, 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 Jerry의 거리와 Silvia의 거리를 따로 구합니다. Jerry의 거리는 두 변이고, Silvia의 거리는 대각선인데 정사각형 안의 직각삼각형이 이를 피타고라스 길이로 바꿔 줍니다. 마지막으로 도구 #8 (단위 살펴보기)로 비교를 정확히 합니다: '얼마나 더 짧은지'는 그 차이를 Jerry 거리의 퍼센트로 잰 것입니다.

1STEP 1

그림 그리고 Jerry 경로 재기

비율만 중요하니 변을 1이라 하면, Jerry는 두 변을 걸으므로 거리는 1+1입니다.

J = 1 + 1 = 2
2STEP 2

Silvia 경로는 대각선

Silvia의 직선은 정사각형의 대각선, 즉 직각변이 1, 1인 직각삼각형의 빗변이므로 √(2)입니다.

S = √(1² + 1²) = √(2)
3STEP 3

대각선이 얼마나 짧은지 구하기

√(2)≈1.41로 바꾸면, 대각선은 Jerry의 2보다 0.59만큼 짧습니다.

J - S = 2 - √(2) ≈ 2 - 1.41 = 0.59
4STEP 4

차이를 퍼센트로 바꾸기

차이를 Jerry의 총 거리로 나누면 0.59/2≈0.29, 즉 29%—보기 중 30%에 가장 가까우니 (A)입니다.

(J - S)/J = 0.59/2 ≈ 0.29 = 29% → (A)
정답
30%
정사각형의 대각선은 항상 두 변을 도는 것보다 짧으므로, 답은 100% 미만의 양수 퍼센트여야 합니다. 정확한 값은 (2-√2)/2=1-√2/2≈ 0.293으로 29%에 반올림되며, 40%보다 30%에 더 가까우므로 (A)가 맞습니다. 변의 길이를 10으로 바꿔도 Jerry는 20, Silvia는 √(200)≈ 14.14로 역시 약 29% 더 짧아, 크기와 무관함을 보여 줍니다.
💡핵심 정리

정사각형을 두 변으로 도는 대신 곧장 가로질러 가면 거리를 약 30% 아낄 수 있는데, 대각선은 한 변의 √2배이고 두 변의 합은 2이기 때문입니다.

  • 그림 그리고 Jerry 경로 재기
  • Silvia 경로는 대각선
  • 대각선이 얼마나 짧은지 구하기
  • 차이를 퍼센트로 바꾸기

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