AMC 10 · 2017 · #18

학년 8 geometry-2d
유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Vertex or Element Role
combinations-basicsymmetry-argumentpermutations-basic burnsides-lemmacasework ↑ 선수 지식: combinations-basic
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
원판 6개가 삼각형 모양으로 놓여 있다. 맨 위에 1개, 가운데 줄에 2개, 맨 아래 줄에 3개다. 이 중 3개를 파랑, 2개를 빨강, 1개를 초록으로 칠한다. 삼각형 전체를 회전하거나 뒤집어서 서로 겹쳐지면 같은 그림으로 본다. 서로 다른 그림은 모두 몇 가지인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
6
(B)
8
(C)
9
(D)
12
(E)
15

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

도구 #2(빠짐없이 나열하기): 색의 개수가 정해진 "몇 가지" 문제는 우선 자리를 모두 구별한다고 보고 전부 세는 데서 출발한다 — 6!/3! 2! 1!=60. 도구 #17(공간 상상하기): 삼각형을 머릿속으로 돌리고 접어 보면 대칭이 6개 있고 각 대칭이 원판을 어떻게 뒤섞는지 보인다. 도구 #16(관점 바꾸기): 서로 다른 그림을 곧장 세는 대신, 각 대칭이 바뀌지 않게 두는 그림이 몇 개인지 세어 평균을 낸다 — 그 평균이 곧 서로 다른 그림의 수다(번사이드의 아이디어). 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 그 평균은 쉬운 조각으로 나뉜다 — 항등, 두 회전, 세 반사를 따로 처리한다.

1STEP 1

자리를 구별해 전부 세기

대칭 무시: {B,B,B,R,R,G}를 여섯 자리에 배열하면 6!/3!·2!·1! = 60개의 자리 구별 그림이 나온다.

6!/3! 2! 1!=720/(6· 2· 1)=60
2STEP 2

삼각형의 여섯 대칭 나열하기

대칭은 항등, 120°·240° 회전, 그리고 꼭짓점과 맞은편 중점을 지나는 반사 3개 — 모두 6개 대칭이다.

{항등, 120° 회전, 240° 회전, 반사 3개} → 6개 대칭
3STEP 3

각 회전이 그대로 두는 그림 세기

회전은 세 꼭짓점을 한 색, 세 중점을 한 색으로 강제하는데 파랑3·빨강2·초록1로는 불가능 — 각 회전은 0개를 고정한다.

꼭짓점 모두 한 색, 중점 모두 한 색 → 불가능; 고정=0
4STEP 4

각 반사가 그대로 두는 그림 세기

각 반사는 축 밖 원판을 짝지어(짝마다 한 색) 축 위 두 원판은 그대로; 파랑/빨강 쌍 2가지 × 축 파랑/초록 2가지 = 4개.

2_어느 쌍이 파랑× 2_축 위 파랑/초록 = 4 (반사마다)
5STEP 5

고정 개수의 평균 내기

번사이드: 6개 대칭의 고정 개수(60, 0, 0, 4, 4, 4)를 평균 내면 (60+0+0+4+4+4)/6 = 12개, (D).

(60+0+0+4+4+4)/6=72/6=12 → (D)
정답
12
조각들이 서로 들어맞는다: 자리를 구별한 그림 60개, 크기 6인 대칭군, 그리고 고정 개수 60,0,0,4,4,4의 합 72는 6의 깔끔한 배수다. 대칭이 아무것도 합치지 않는다면 60/6=10개쯤을 예상하겠지만, 답 12는 그보다 조금 크다. 회전이 아무것도 고정하지 못해(합쳐 주는 그림이 더 적어) 개수를 10보다 끌어올리기 때문이다. 12는 선택지에 있으므로 (D)가 맞다.
💡핵심 정리

자리를 구별한 그림 60개를 센 다음, 삼각형의 6가지 뒤집기·돌리기마다 그대로 남는 그림 수를 세고(60,0,0,4,4,4), 그 평균 72÷ 6=12가 진짜 서로 다른 그림의 개수다.

  • 자리를 구별해 전부 세기
  • 삼각형의 여섯 대칭 나열하기
  • 각 회전이 그대로 두는 그림 세기
  • 각 반사가 그대로 두는 그림 세기
  • 고정 개수의 평균 내기

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