AMC 10 · 2018 · #13

학년 8 geometry-2d
유형 Paper Fold-and-Cut Symmetry └ 세부 유형 Fold Maps One Named Point Onto Another
reflection-symmetryperpendicular-bisectorsimilar-trianglespythagorean-theorempaper-folding reflection-unfoldingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: reflection-symmetrysimilar-triangles
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
종이 삼각형의 세 변 길이가 3, 4, 5인치라서 직각삼각형이다. 꼭짓점 A가 꼭짓점 B에 정확히 포개지도록 한 번 접는다. 이때 생기는 접힌 자국(주름선)의 길이를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$1+\frac12 \sqrt2$
(B)
$\sqrt3$
(C)
$\frac74$
(D)
$\frac{15}{8}$
(E)
2

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 공간 상상하기

도구 #17 (공간 상상하기): 접기를 거울로 떠올린다. A를 B에 포개는 접기는 A를 B로 보내는 거울선이므로, 주름선은 반드시 선분 AB의 수직이등분선이 된다. 도구 #1 (그림 그리기): 그 선을 그리면 꼭짓점 A 쪽에 작은 직각삼각형이 나타난다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 그 작은 삼각형이 전체 3-4-5 삼각형과 닮음임을 알아챈다. 도구 #4 (변수 도입하기): 주름선 길이를 미지수로 두고 비례식 하나에서 읽어낸다.

1STEP 1

접기를 거울로 읽기

A를 B에 포개는 접기는 거울이라, 주름선은 AB의 수직이등분선이다 — AB 중점을 지나 직각으로 만난다.

주름선 = AB의 수직이등분선
2STEP 2

주름선 위치 잡기

C에서 직각이고, AB의 중점을 M이라 하면 AM=5/2이다; 주름선은 M에서 AB에 수직으로 뻗어 변 AC 위의 점 P에 닿는다.

AM=AB/2=5/2
3STEP 3

닮은 삼각형 찾기

삼각형 AMP와 ACB는 각 A를 공유하고 각각 직각(M과 C)을 가지므로, 각-각(AA) 기준으로 닮음이다.

△ AMP ∼ △ ACB
4STEP 4

비례식 세우고 풀기

대응하는 변에서 MP/CB=AM/AC, 즉 MP/3=(5/2)/4이므로 주름선 MP=15/8인치 — 보기 (D)이다.

MP/3=(5/2)/4 → MP=15/8 → (D)
정답
15/8
주름선은 15/8=1.875인치이다. 가장 짧은 변이 3인 삼각형 내부에 놓이므로 2인치 미만의 주름선은 자연스럽다. 좌표로 확인해도 일치한다: A=(0,0), B=(4,3), C=(4,0)이면 중점은 M=(2,3/2)이고, 수직이등분선(기울기 -4/3)은 변 AC와 (25/8,0)에서 만난다. M에서 그 점까지 거리는 √((9/8)²+(3/2)²)=√(225/64)=15/8로 정확히 같다.
💡핵심 정리

접기는 곧 거울이라서 주름선은 포개진 두 점을 잇는 선분의 수직이등분선이다. 그러면 닮은 삼각형 한 쌍이 비례식 하나를 답 15/8, 보기 (D)로 바꿔 준다.

  • 접기를 거울로 읽기
  • 주름선 위치 잡기
  • 닮은 삼각형 찾기
  • 비례식 세우고 풀기

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.