AMC 10 · 2018 · #20

학년 8 geometry-2d
유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Grid / Solid Cell Position
symmetry-argumentreflection-symmetryrotation-isometry complementary-countingsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: symmetry-argument
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
7× 7 격자의 칸들을 검은색과 흰색으로 칠한다. 중심에 대한 90^° 회전과, 두 대각선 및 두 중점선에 대한 대칭 이동을 해도 모양이 똑같아 보이는 칠을 대칭이라 한다. 검은 칸과 흰 칸이 각각 적어도 하나씩 있어야 한다. 대칭인 칠은 모두 몇 가지인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
510
(B)
1022
(C)
8190
(D)
8192
(E)
65,534

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 공간 상상하기

문제 전체가 여덟 개의 대칭 이동(회전 네 개와 대칭 네 개)이 칸들을 어떻게 옮기는지에 관한 것이므로 Tool #17(공간 상상하기)이 중심이다. 격자를 머릿속으로 회전하고 접어서 어떤 칸들이 같은 색으로 묶이는지 본다. Tool #1(그림 그리기)로 칸을 좌표에 고정하면 접기가 정확해진다. Tool #7(작은 문제로 쪼개기)로 칸을 위치 유형(중심, 중점선 팔, 대각선 팔, 내부)으로 나누고, Tool #2(빠짐없이 나열하기)로 자유로운 색 선택이 몇 개 남는지 센다. 마지막으로 '각 색이 적어도 하나'라는 표현은 Tool #16(관점 바꾸기) 신호다: 모든 칠을 센 뒤 한 가지 색뿐인 두 경우를 뺀다.

1STEP 1

칸들이 묶여서 움직인다

네 회전과 네 대칭을 합치면 여덟 개의 대칭 이동이 된다. 한 칸을 다른 칸으로 옮기면 같은 색이어야 하므로 칸들이 묶음으로 잠긴다.

대칭 이동={0^°,90^°,180^°,270^°}∪{대각선 2개, 중점선 2개}=8
2STEP 2

8분의 1로 접기

네 대칭선이 정사각형을 8개 조각으로 자르고, 모두 한 조각 위로 접히므로 각 묶음은 그 안에 정확히 한 칸씩 남는다.

기본 조각={(a,b):0 ≤ a ≤ b ≤ 3}
3STEP 3

독립적인 칸 세기

그 조각을 유형별로 — 중심·중점선 팔·대각선 팔·내부 — 세면 1+3+3+3=10개의 독립적인 칸, 묶음마다 하나다.

1+3+3+3=10개 묶음
4STEP 4

묶음마다 두 가지 색

10개 묶음은 각각 자유롭게 검은색이나 흰색이라, 곱의 법칙으로 2¹⁰=1024가지의 대칭인 칠이 된다.

2¹⁰=1024
5STEP 5

금지된 두 격자 빼기

두 색 규칙은 1024가지 중 전부 검은·전부 흰 격자 둘만 금지하므로 1024-2=1022, 보기 (B)이다.

1024-2=1022 → (B)
정답
1022
49개 칸이 10개 묶음으로 올바르게 나뉜다: 중심은 1개짜리 묶음; 각 중점선 팔 칸 (0,b)는 4개짜리 묶음이라 3× 4=12; 각 대각선 팔 칸 (a,a)도 4개짜리라 3× 4=12; a ＜ b인 각 내부 칸 (a,b)는 8개짜리라 3× 8=24. 그러면 1+12+12+24=49로 격자 전체와 정확히 일치하니 빠지거나 겹친 칸이 없다. 답 1022는 1024=2¹⁰ 바로 아래로 보기 (B)와 맞는다. 큰 보기 8190과 8192는 2¹³에서 나오는데, 이는 자유로운 묶음이 13개라는 뜻으로 대칭을 적용하면 너무 많다.
💡핵심 정리

대칭인 격자를 대칭선을 따라 접으면 진짜 자유로운 칸은 10개뿐이다. 각각 검은색 아니면 흰색이라 2¹⁰=1024가지이고, 전부 검은·전부 흰 경우를 빼면 1022가지로 보기 (B)이다.

  • 칸들이 묶여서 움직인다
  • 8분의 1로 접기
  • 독립적인 칸 세기
  • 묶음마다 두 가지 색
  • 금지된 두 격자 빼기

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