AMC 10 · 2018 · #16
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AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기): 문제는 6으로 나눈 나머지만 묻고 있으므로, 전 과정을 나머지로 다룰 수 있고 실제 수들은 전혀 필요 없다. 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기): 2018개의 미지수를 세제곱하는 일은 불가능해 보이지만 나머지 지름길이 있다 — 모든 세제곱은 6으로 나눈 나머지가 그 밑과 같으므로, 어려운 세제곱의 합이 문제가 이미 알려 준 쉬운 합으로 무너진다. 도구 #5 (패턴 찾기): 마지막 단계는 2²⁰¹⁸ mod 6으로 줄고, 2의 거듭제곱은 짧게 반복하는 주기에 빠져 나머지를 단번에 고정한다.
세제곱은 밑의 나머지를 그대로 지킨다 (mod 6)
세제곱을 밑과 비교하자: n³ − n = (n−1) n (n+1), 연속한 세 정수의 곱이다.
n³에서 n을 빼면 연속한 세 수의 곱으로 인수분해되는데, 이는 세제곱보다 다루기가 훨씬 쉽다.
6.EE.A.3Solve An Easier Related Problem연속한 세 수는 6으로 나누어진다
연속한 세 수에는 2의 배수와 3의 배수가 숨어 있어 곱은 6의 배수 — 즉 n³ ≡ n (mod 6).
연속한 세 수에는 항상 2의 배수와 3의 배수가 숨어 있어서, 그 곱은 늘 6의 배수이다.
3.OA.D.9Look For A Pattern세제곱의 합을 그냥 합으로 바꾸기
모든 항에 n³ ≡ n을 더하면 세제곱의 합 ≡ 주어진 합 2018²⁰¹⁸ (mod 6). 증가·서로 다름은 상관없다.
각 조각을 그 나머지로 바꿀 수 있으면, 합 전체도 같은 나머지를 유지한다.
6.EE.A.3Solve An Easier Related Problem밑 2018을 6으로 줄이기
밑을 줄이자: 2018 = 6·336 + 2이므로 2018 ≡ 2 (mod 6), 따라서 2018²⁰¹⁸ ≡ 2²⁰¹⁸ (mod 6).
6으로 나눈 나머지만 거듭제곱을 통과해 전해지므로, 거대한 밑이 아주 작은 밑으로 줄어든다.
6.NS.B.2Solve An Easier Related Problem2의 거듭제곱은 2와 4를 오간다
2의 거듭제곱은 mod 6에서 2,4,2,4,…로 순환 — 짝수 지수는 4. 2018은 짝수라 2²⁰¹⁸ ≡ 4, 나머지는 4 (E).
6으로 나눈 채 2배를 하면 2와 4 사이만 오가므로, 지수의 홀짝만으로 답이 정해진다.
6.EE.A.1Look For A Pattern세제곱은 6으로 나눈 나머지를 절대 바꾸지 않으므로, 복잡한 세제곱의 합은 주어진 합 2018²⁰¹⁸과 나머지가 같고, 그 값은 4가 된다.
- 세제곱은 밑의 나머지를 그대로 지킨다 (mod 6)
- 연속한 세 수는 6으로 나누어진다
- 세제곱의 합을 그냥 합으로 바꾸기
- 밑 2018을 6으로 줄이기
- 2의 거듭제곱은 2와 4를 오간다