AMC 10 · 2018 · #9

학년 7 probability

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Uniform Pair-Sum Recovery

probability-basicsymmetry-argument symmetry-argument ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

보통의 주사위 7개(각 면은 1부터 6)를 굴려 윗면의 수를 더한다. 합이 10이 될 확률을 p라 하자. 같은 확률 p로 나오는 다른 합을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$text{ 13}$

(B)

$text{ 26}$

(C)

$text{ 32}$

(D)

$text{ 39}$

(E)

$text{ 42}$

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기): 주사위 일곱 개가 합 10이 되는 경우를 직접 세기는 어려우니, 먼저 주사위 한 개에서 값들이 어떻게 짝지어지는지 본다. 도구 #16 (관점 바꾸기): 세는 대신 각 값 d를 7-d로 바꿔 모든 주사위를 뒤집는다. 이렇게 하면 모든 굴림이 정확히 다른 한 굴림과 짝지어지고, 합 S는 49-S로 바뀌므로 두 합의 확률이 같아진다. 도구 #3 (가능성 지우기): 10의 짝은 다섯 보기 중 하나와 일치해야 하므로 답이 정해진다.

1STEP 1

주사위 한 개부터 보기

주사위 한 개에서 값 d는 짝 7-d만큼 잘 나온다: 1⇔6, 2⇔5, 3⇔4는 각각 합이 7이다.

1⇔ 6, 2⇔ 5, 3⇔ 4, d⇔ 7-d

2STEP 2

일곱 개를 모두 뒤집기

7개 주사위를 한꺼번에 뒤집어 각 d를 7-d로 보낸다; 두 번 뒤집으면 원래로 돌아오므로 모든 굴림이 일대일로 짝지어진다.

(d₁,…,d₇) ⟼ (7-d₁,…,7-d₇)

3STEP 3

뒤집기가 합에 하는 일

원래 면들의 합이 S이면, 뒤집은 면들의 합은 7이 일곱 개에서 S를 뺀 49-S이다.

Σ_i=1⁷(7-d_i)=7· 7-Σ_i=1⁷ d_i = 49 - S

4STEP 4

개수가 같으면 확률도 같다

이 뒤집기는 합이 S인 굴림을 합이 49-S인 굴림과 정확히 하나씩 짝지으므로, 경우의 수가 같아 P(S)=P(49-S)이다.

#(합=S)=#(합=49-S) → P(S)=P(49-S)

5STEP 5

합 10에 적용하기

10의 짝은 49-10=39로, 보기 중 유일하게 존재하는 (D)이다; 13, 26, 32, 42는 10의 짝이 아니다.

49-10=39 → (D)

정답

text{ 39}

짝 규칙에 따르면 합 S와 49-S는 똑같이 잘 나오므로, 전체 그림은 49/2=24.5를 중심으로 대칭이다. 합 10은 중심보다 14.5 아래, 39는 14.5 위에 있어 완벽히 대칭이다. 10과 39 모두 가능한 범위 [7,42] 안에 있어 답이 될 수 있다. 다른 보기는 맞지 않는다: 42는 모두 6인 최댓값으로 10보다 훨씬 드물고, 13,26,32는 49-10이 아니다. 오직 (D) 39만 맞는다.

💡핵심 정리

각 주사위를 반대 면으로 바꾸면(d가 7-d로) 합 S는 49-S로 뒤집힌다. 그래서 10과 49-10=39는 똑같이 자주 나온다.

주사위 한 개부터 보기
일곱 개를 모두 뒤집기
뒤집기가 합에 하는 일
개수가 같으면 확률도 같다
합 10에 적용하기

주사위 한 개부터 보기

일곱 개를 모두 뒤집기

뒤집기가 합에 하는 일

개수가 같으면 확률도 같다

합 10에 적용하기

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