AMC 10 · 2019 · #7

학년 6 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

coordinate-geometryslope-interceptlinear-equations-two-vararea-trianglesisosceles-triangle coordinate-geometryidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryslope-interceptarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

두 직선이 점 (2, 2) 를 지나는데, 하나는 기울기

\frac{1}{2}

, 다른 하나는 기울기 2. 세 번째 직선은 x + y = 10. 이 세 직선이 만드는 삼각형의 넓이를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$4\sqrt{2}$

(C)

(D)

(E)

$6\sqrt{2}$

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1 로 좌표 격자에 세 직선과 삼각형을 그리면 세 꼭짓점이 한눈에 보임. 도구 #7 로 작업을 세 단계로 쪼갬: (a) (2,2) 지나는 두 직선의 식 쓰기, (b) 각 직선과 x + y = 10 의 교점 찾기, (c) 세 꼭짓점으로부터 넓이 계산. 도구 #3 으로 답이 선택지와 일치하는지 확인.

1STEP 1

두 직선이 (2, 2) 를 지나므로 점-기울기로 직선 1: y = $\frac{1}{2}$ x + 1, 직선 2: y = 2x - 2.

직선 1: y =

\frac{1}{2}

x + 1, 직선 2: y = 2x - 2

2STEP 2

직선 1 을 x + y = 10 에 대입: $\frac{3}{2}$ x = 9, x = 6, y = 4, 꼭짓점 B = (6, 4).

x +

\frac{1}{2}

x + 1 = 10 →

\frac{3}{2}

x = 9 → x = 6, y = 4

3STEP 3

직선 2 를 x + y = 10 에 대입: 3x = 12, x = 4, y = 6, 꼭짓점 C = (4, 6).

x + 2x - 2 = 10 → 3x = 12 → x = 4, y = 6

4STEP 4

세 꼭짓점 A = (2, 2), B = (6, 4), C = (4, 6) 을 격자에 찍고 이어 삼각형을 그림.

A = (2, 2), B = (6, 4), C = (4, 6)

5STEP 5

삼각형을 (2, 2)~(6, 6) 4×4 정사각형에 넣음: 넓이 16, 남는 모서리 직각삼각형 넓이는 4, 2, 4.

둘레 정사각형 넓이 = 4 · 4 = 16

6STEP 6

정사각형 16 에서 세 모서리 삼각형을 뺌: 16 - 4 - 2 - 4 = 6.

넓이 = 16 -

\frac{1}{2}

(4 · 2) -

\frac{1}{2}

(2 · 2) -

\frac{1}{2}

(2 · 4) = 16 - 4 - 2 - 4 = 6

7STEP 7

넓이 6 은 (C).

6 → (C)

정답

밑변·높이로 검산. 삼각형은 이등변: AB = (2,2)~~(6,4) 길이 √(16 + 4) = 2√(5), AC = (2,2)~~(4,6) 길이 2√(5). 밑변 BC = (6,4)~(4,6) 길이 √(4 + 4) = 2√(2) 이고 BC 는 x + y = 10 위에 있음. A = (2,2) 에서 x + y = 10 까지의 거리 =

\frac{|2 + 2 - 10|}{√(2)}

\frac{6}{√(2)}

= 3√(2). 넓이 =

\frac{1}{2}

· 2√(2) · 3√(2) =

\frac{1}{2}

· 12 = 6. ✓

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "조각으로 넓이 구하기"만 알면 풀 수 있어요 — 삼각형의 세 꼭짓점 (2,2), (6,4), (4,6) 을 찾고, 4 × 4 정사각형 (넓이 16) 으로 둘러싼 뒤 세 모서리 직각삼각형 (4 + 2 + 4 = 10) 을 빼면 삼각형 넓이는 16 - 10 = 6.

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