경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2019A · #8

학년 8 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

spatial-visualizationreflection-symmetryrotation-isometrytransformations-compositionline-symmetry caseworkphysical-representation ↑ 선수 지식: reflection-symmetryrotation-isometry

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

직선 ℓ 위에 정사각형이 위·아래로 번갈아 늘어선 무한 반복 패턴이 있고, 각 정사각형의 한 꼭짓점에는 바깥쪽으로 향하는 짧은 대각선 조각이 붙어 있음. 다음 네 강체 운동 (항등 변환 제외) 중 몇 개가 이 도형을 자기 자신으로 옮기는지: (1) ℓ 위 한 점을 중심으로 한 회전, (2) ℓ 방향 평행이동, (3) ℓ 에 대한 대칭, (4) ℓ 에 수직인 직선에 대한 대칭.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 직접 만져보기

띠 패턴 대칭은 도형을 베껴 직접 옮기거나 뒤집어 보는 것이 가장 확실 (도구 #10). 도구 #17로 머릿속 회전·반사. 도구 #1로 패턴을 그리고 후보 회전 중심·반사축을 표시한 뒤 각 조각을 확인. 도구 #3으로 네 운동을 하나씩 검토해 예 개수 합산.

1STEP 1

반복 무늬 그려 보기

그리기: 위 사각형은 x = 0, 4, 8…, 아래 사각형은 2 어긋나며, 각자 바깥 대각선 조각 — 주기 4 의 띠.

ℓ 방향 주기: 4 단위, 위·아래 2 만큼 어긋남

2STEP 2

평행이동 확인하기

운동 (2) 평행이동: 도형을 오른쪽으로 4 단위 밀기 — 위→위, 아래→아래, 조각도 따라감. 주기가 딱 4라 전부 일치. 가능.

4 단위 평행이동 → 일치

3STEP 3

회전 확인하기

운동 (1) 회전: 위·아래 사각형 중간 점 (1, 0) 에서 180° 반회전 — 둘이 맞바뀌고 조각도 제자리. 보존. 가능.

(1, 0) 중심 180° 회전 → 위 ⇔ 아래, 일치

4STEP 4

직선 대칭 확인하기

운동 (3) ℓ 대칭: 위가 아래로 가지만, x = 0, 4… 위 사각형 자리에 놓여 위치가 어긋남. 불가능.

ℓ 대칭 → 위·아래 바뀌고 위치 어긋남

5STEP 5

수직선 대칭 확인하기

운동 (4) 세로 대칭: 사각형은 맞지만, 꼭짓점 조각이 아무것도 없던 반대쪽 꼭짓점으로 감. 불가능.

세로 대칭 → 대각선 조각이 잘못된 꼭짓점으로

6STEP 6

되는 이동 세기

세면: 평행이동 가능, 회전 가능, 두 반사 불가능. 합 = 2.

가능 개수 = 2 → (C)

정답

띠 패턴은 대칭에 따라 7 군으로 분류되며, 각 군이 평행이동·미끄럼 반사·회전·가로 반사·세로 반사의 특정 조합을 가짐. 이 패턴은 평행이동 + 180° 반회전은 있지만 가로·세로 반사는 없음 (위·아래 교대와 대각선 조각 때문). 이는 띠 군 p2에 해당하며 — 주어진 네 운동 중 정확히 2 개가 대칭. (C)와 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 강체 운동만 알면 풀 수 있어요 — 도형을 복사해 네 운동을 하나씩 시험. 직선 방향 평행이동 가능 (주기 4), 위·아래 사각형 사이 중간 점 중심 180° 회전 가능, 두 종류의 뒤집기는 대각선 조각이 잘못된 꼭짓점으로 가서 불가능. 답: 2.

반복 무늬 그려 보기
평행이동 확인하기
회전 확인하기
직선 대칭 확인하기
수직선 대칭 확인하기
되는 이동 세기

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