AMC 10 · 2020 · #15

학년 6 arithmetic

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Position-in-Cycle Lookup

modular-arithmeticpattern-recognitionlcm easier-related-problempattern-recognitionsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: modular-arithmeticlcm

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Steve가 1,2,3,4,5 를 반복해 적어 총 10,000 개의 숫자 123451234512345… 를 만듭니다. 그런 다음 세 단계 지우기를 차례로 수행: ① 매 3 번째 숫자, ② 남은 목록의 매 4 번째, ③ 또 남은 목록의 매 5 번째 — 모두 지우고 나서 2019, 2020, 2021 번째 자리에 있는 세 숫자의 합은?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9(더 쉬운 문제): 10,000 자리 대신 모든 관련 주기로 깔끔하게 나뉘는 반복 블록을 사용. 도구 #5(패턴): 각 패스가 주기 구조를 보존하므로 최종 목록도 주기적 — 그 주기를 찾기. 도구 #2(나열하기): 블록을 직접 적어 세 패스를 수행, 나머지 연산으로 2019, 2020, 2021 번째를 읽기. 도구 #3(가능성 지우기): 합을 선택지와 매칭.

1STEP 1

원 주기 5, 패스 1 주기 3 → lcm(5,3)=15 자리 블록 123451234512345 사용.

블록 = 123 451 234 512 345 (15 자리)

2STEP 2

패스 1: 3, 6, 9, 12, 15 번째 삭제 → 10 자리 1245235134.

123451234512345 → 1,2,4,5,2,3,5,1,3,4 = 1245235134

3STEP 3

패스 2: 10-블록을 lcm(10,4)=20 으로 두 배, 4 번째 삭제 → 15 자리 124235341452513.

12452351341245235134 → 124 235 341 452 513 = 124235341452513

4STEP 4

패스 3: 길이 15 는 5 로 나뉨 → 5, 10, 15 번째 삭제 → 12 자리 124253415251.

124235341452513 → 1242 5341 5251 = 124253415251

5STEP 5

세 패스 후 최종 목록은 12 자리 주기 124253415251 이 영원히 반복.

최종 주기 = 124253415251 (길이 12)

6STEP 6

2019 = 12·168+3 → 2019, 2020, 2021 번째는 주기 124253415251 의 3, 4, 5 번째: 숫자 4, 2, 5.

2019 ≡ 3, 2020 ≡ 4, 2021 ≡ 5 (mod 12) → 숫자 4, 2, 5

7STEP 7

세 숫자의 합: 4 + 2 + 5 = 11 → 선택지 (D).

4 + 2 + 5 = 11 → (D)

정답

각 패스가 남기는 비율:

\frac{2}{3}

\frac{3}{4}

\frac{4}{5}

\frac{2}{5}

. 최종 목록 길이는 10,000 ·

\frac{2}{5}

= 4,000 자리 — 2021 번째 자리가 존재하므로 문제 자체가 성립. 세 숫자 4, 2, 5 는 Steve가 적은 {1, 2, 3, 4, 5} 안의 값이며 합 11 은 [3, 15] 범위 안 — (D)와 정합.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 최소공배수와 나머지만 알면 풀 수 있어요! 원 주기와 패스 1 주기의 LCM인 15 자리 블록 123451234512345 로 시작. 세 패스( $\frac{2}{3}$ · $\frac{3}{4}$ · $\frac{4}{5}$ = $\frac{2}{5}$ 만 남김) 후 최종 목록은 12 자리 주기 124253415251. 2019 ≡ 3 (mod 12) 이므로 2019, 2020, 2021 번째는 주기의 3, 4, 5 번째 — 숫자 4, 2, 5, 합 11, 답 (D).

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