경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2020B · #23

학년 8 geometry-2d

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Constrained Sequence or Path Count

transformations-compositionrotation-isometryreflection-symmetryparity pattern-recognitioncaseworksymmetry-argument ↑ 선수 지식: transformations-compositionreflection-symmetry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

꼭짓점이 A(1,1), B(-1,1), C(-1,-1), D(1,-1) 인 정사각형에 {L, R, H, V} 중 하나를 20 번 적용 (각각 90° 반시계/시계 회전, x축·y축 대칭). 모든 라벨 꼭짓점이 원위치로 돌아오는 수열은 몇 개?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2^{37}$

(B)

$3\cdot 2^{36}$

(C)

$2^{38}$

(D)

$3\cdot 2^{37}$

(E)

$2^{39}$

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9(더 쉬운 문제): n = 2, n = 4 작은 경우 직접 계산 후 규칙 추출. 도구 #5(패턴): 짝수 길이 n ≥ 2 에서 항등 수열 비율이 정확히 1/4. 도구 #2(나열): 길이 2 수열 16 개 직접 점검 — 항등은 LR, RL, HH, VV 4 개. 도구 #7(쪼개기): 20 번을 "연속 두 번"으로 10 쌍 묶기 — 각 쌍은 4 종류 효과를 균등하게 만듦. 도구 #6(추측·확인): 4²⁰/4 = 4¹⁹ = 2³⁸가 작은 사례에서 맞음을 확인. 도구 #1(그림)으로 네 변환의 치환 표기 고정, 도구 #3(가능성 지우기)으로 선택지와 비율 교차 점검.

1STEP 1

이동을 순열로 나타내기

각 변환을 꼭짓점 치환으로 표현 — L, R, H, V 모두 각 꼭짓점을 이웃 위치로 보냄 (대각으로는 X).

L = (A B C D), R = (A D C B), H = (A D)(B C), V = (A B)(C D)

2STEP 2

이동 횟수의 홀짝 살피기

각 변환이 A 를 대각 클래스 {A,C} ↔ {B,D}로 토글 — 복귀는 짝수 길이에서만 가능, 20은 짝수.

A_짝수 후 ∈ {A, C}, A_홀수 후 ∈ {B, D}

3STEP 3

두 번 이동 경우 세기

길이 2 수열 16 개 나열 — 정확히 LR, RL, HH, VV 만 항등, $\frac{4}{16}$ = 비율 $\frac{1}{4}$ .

N(2) = 4, N(2)/4² = 1/4

4STEP 4

점화식 세우기

귀납: 길이 n 뒤에 한 쌍을 붙이면 4 분의 1 확률로 항등, 따라서 N(n+2) = 4·N(n).

N(n+2) = 4 · N(n), N(n) = 4ⁿ⁻¹ (n ≥ 2 짝수)

5STEP 5

직접 논증으로 확인하기

직접: 각 쌍은 4 가지 효과 (4 원소 부분군) 중 하나, 그중 하나가 항등 — 복귀 확률 정확히 $\frac{1}{4}$ .

P(항등) = 1/4, N(20) = 4²⁰/4 = 4¹⁹ = 2³⁸

6STEP 6

2의 거듭제곱으로 바꾸기

계산: 4¹⁹ = (2²)¹⁹ = 2³⁸ — 선택지 (C).

N(20) = 2³⁸ → (C)

7STEP 7

비율로 다시 확인하기

교차 확인: 전체 2⁴⁰ × 비율 $\frac{1}{4}$ = 2³⁸ (C); 비율 $\frac{1}{8}$ · $\frac{1}{2}$ 은 (A)·(E) — 쌍당 4 효과와 불일치.

비율 = 1/4 → N = 2⁴⁰/4 = 2³⁸

정답

2³⁸

감각 점검: 전체 4²⁰ = 2⁴⁰ ≈ 10¹², 항등 2³⁸ ≈ 2.75 × 10¹¹, 비율 정확히

\frac{1}{4}

. 작은 사례: n = 2, 항등 4 개 (LR, RL, HH, VV),

\frac{4}{16}

\frac{1}{4}

✓. n = 4: 계산 (또는 쌍 귀납) → 4³ =

\frac{64}{256}

, 비율

\frac{1}{4}

✓. 선택지 (C) 확정.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 8학년 기하 변환만 알면 풀려요 — 두 변환 쌍은 정사각형에 정확히 4 가지 효과 중 하나 (그 중 하나가 항등)를 균등하게 주므로, 항등 수열 비율 $\frac{1}{4}$ — 답 $\frac{4²⁰}{4}$ = 4¹⁹ = 2³⁸.

이동을 순열로 나타내기
이동 횟수의 홀짝 살피기
두 번 이동 경우 세기
점화식 세우기
직접 논증으로 확인하기
2의 거듭제곱으로 바꾸기
비율로 다시 확인하기

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