AMC 10 · 2020 · #8

학년 8 geometry-2d

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Vertex or Element Role

area-trianglesspatial-visualizationperpendicular-bisector caseworkidentify-subproblemssymmetry-argument ↑ 선수 지식: area-trianglespythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

평면 위 두 점 P, Q 가 PQ = 8 을 만족한다. △ PQR 이 넓이 12 인 직각삼각형이 되는 점 R 의 위치 개수를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1 로 P, Q 를 가로선 위에 놓아 수직 조건을 보이게 한다. 도구 #7 로 직각의 위치(P, Q, R) 에 따라 세 경우로 분리. 도구 #2 로 각 경우 안에서 좌우·상하 대칭을 빠짐없이 나열. 도구 #3 으로 합계를 보기와 매칭.

1STEP 1

P, Q 를 8 만큼 떨어뜨린다. 넓이 = $\frac{1}{2}$ · 8 · h = 4h = 12 이므로 R 은 PQ 에서 높이 3 (평행선 중 하나).

\frac{1}{2}

· 8 · h = 12 → h = 3

2STEP 2

경우 A — 직각이 P: PR ⊥ PQ, $\frac{1}{2}$ · 8 · PR = 12 에서 PR = 3 → 2 곳 (P 위·아래).

PR ⊥ PQ, PR = 3 → 2 곳

3STEP 3

경우 B — 직각이 Q: 경우 A 와 대칭, QR ⊥ PQ, QR = 3 → 2 곳 더 (Q 위·아래).

QR ⊥ PQ, QR = 3 → 2 곳

4STEP 4

경우 C — 직각이 R: PQ 가 빗변, R 은 PQ 지름 원 위 (중심 M, 반지름 4), 높이 3.

R 은 원 위, 중심 M, 반지름 4, 높이 |y_R| = 3

5STEP 5

M = (0,0) 로 두면 원은 x² + y² = 16; y = ±3 에서 x² = 7, x = ±√(7) — 선마다 2점 → 경우 C 는 4.

x² = 16 - 9 = 7 → x = ±√(7); 2 위 + 2 아래 = 4

6STEP 6

점들이 모두 다르므로 (x = -4, 4, ±√(7)) 경우들을 그냥 더한다: 2 + 2 + 4 = 8.

2 + 2 + 4 = 8

7STEP 7

8 은 (D).

8 → (D)

정답

대칭으로 점검: 그림은 PQ 에 대해 위·아래 대칭이라 답이 짝수, 그리고 PQ 의 수직 이등분선 (x = 0) 에 대해 좌우 대칭. 여덟 점 (-4, ± 3), (4, ± 3), (±√(7), ± 3) 은 두 대칭 모두에 대해 닫혀 있다. ✓ 경우 A 점은 다리 8, 3 의 직각삼각형, 넓이 =

\frac{1}{2}

· 8 · 3 = 12 ✓. 경우 C 는 PR² + QR² = 64 와 PR · QR = 24 (넓이 12) 로 일관됨. ✓

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 직각삼각형 감각만 알면 풀 수 있어요 — 넓이 12 에서 R 의 높이는 3 으로 고정. 직각이 P 에 (2 곳), Q 에 (2 곳), R 에 (PQ 지름 원 위 4 곳) — 총 8.

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