경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2021A · #22

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

sequences-arithmeticmean-median-mode-rangedivisibility-ruleslinear-equations-two-var convert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

노트는 50 페이지가 25 장에 인쇄되어 있으며, k 번 장은 페이지 2k-1, 2k 를 담습니다(1 번 장은 1, 2, 2 번 장은 3, 4 …). 중간에서 연속한 장 묶음을 가져가서 남은 장들의 페이지 번호 평균이 정확히 19 가 됩니다. 가져간 장의 개수는 몇 개인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 제거된 페이지의 개수(2c)와 합을 분리. 도구 #13(대수로 바꾸기) — "남은 평균 = 19" 조건을 a, c 의 한 식으로 옮겨 325 = 5² · 13의 작은 소인수분해로 케이스 분리. 도구 #6(추측하고 확인) — c 가 325의 약수여야 하므로 c ∈ {1, 5, 13, …}만 시도. 도구 #3(가능성 지우기) — 선택지 10, 13, 15, 17, 20 중 325의 약수만 살아남음.

1STEP 1

지운 수의 합 식 세우기

제거 장을 a 번부터 c 장이라 하면 제거된 2c 개 페이지는 연속 정수, 합은 c(4a + 2c - 3).

제거된 합 = c(4a + 2c - 3)

2STEP 2

평균 조건 적용하기

전체 합 1275로 남은 평균을 19로 두고 분수를 없애면 c(4a + 2c - 41) = 325 로 정리됩니다.

c(4a + 2c - 41) = 325

3STEP 3

325의 약수 구하기

325 = 5² · 13 이므로 25 장 미만 약수는 c ∈ {1, 5, 13} 만 남아 시험 대상.

c ∈ {1, 5, 13}

4STEP 4

c가 1인 경우 확인하기

c = 1이면 4a = 364, a = 91 — 25 장뿐이라 불가능, 탈락.

c=1 → a = 91 (불가능)

5STEP 5

c가 5인 경우 확인하기

c = 5이면 a = 24, 하지만 마지막 제거 장 = 28 ＞ 25로 범위 초과, 탈락.

c=5 → a = 24, a+c-1 = 28 ＞ 25 (불가능)

6STEP 6

c가 13인 경우 확인하기

c = 13이면 a = 10, 제거 장 10~22 — 양끝 모두 안쪽이라 "중간에서" 와 일치, 유효.

c = 13, a = 10, 묶음 = [10, 22] ⊂ [2, 24]

7STEP 7

평균 검산하기

제거 페이지 19~44 합 = 819, 남은 456을 24 페이지로 나누면 평균 $\frac{456}{24}$ = 19, 확인 완료.

남은 평균 = (1275 - 819)/(50 - 26) = 456/24 = 19

정답

빠른 점검. 전체 50 페이지의 평균은 25.5. 페이지 19 ~ 44 (평균 31.5, 전체보다 큼)를 제거하면 남은 평균이 내려가야 함 — 실제로 19 ＜ 25.5. 크기 점검: 25.5 - 19 = 6.5 만큼 내려가는데, 평균보다 무거운 위쪽 묶음을 제거하면 가능. 선택지 {10, 13, 15, 17, 20} 중 325의 약수이며 a 가 [2, 24] 안인 것은 c = 13 뿐, 이웃 답을 즉시 배제.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 이미 배운 6학년 평균과 방정식 도구만 있으면 풀려요 — 전체 페이지 합(1275)과 제거된 합 공식(c(4a + 2c - 3))을 쓰고 남은 평균 = 19 조건을 정리하면 c(4a + 2c - 41) = 325, 325 = 5² · 13을 인수분해해 c ∈ {1, 5, 13}을 시도하면 c = 13만 유효한 묶음(장 10 ~ 22, 페이지 19 ~ 44)을 줍니다.

지운 수의 합 식 세우기
평균 조건 적용하기
325의 약수 구하기
c가 1인 경우 확인하기
c가 5인 경우 확인하기
c가 13인 경우 확인하기
평균 검산하기

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