경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2021B · #23

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

geometric-probabilityarea-trianglesarea-circlesminkowski-sum identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: geometric-probabilityarea-triangles

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

8 × 8 흰 정사각형 안에 검은 영역 5 개: 중앙의 다이아몬드 (한 변 2√(2) 인 정사각형을 45° 회전), 그리고 네 모서리 각각의 이등변 직각삼각형 (다리 2). 지름 1 인 동전을 무작위로 떨어뜨려 동전이 8 × 8 정사각형 안에 완전히 들어가는 모든 위치 중 균일 분포로 한 곳에 놓는다. 동전이 검은 영역과 겹칠 확률은

\frac{1}{196}

(a + b√(2) + π) (a, b 양의 정수) 형태이다. a + b 를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1 (그림 그리기) — 8 × 8 정사각형 안에 다섯 검은 영역과 동전 중심이 갈 수 있는 영역을 그린다. 도구 #9 (더 쉬운 문제) — "동전이 검은 영역과 겹침" 을 "중심이 검은 영역과 거리 1/2 이내" 로 치환 (기하 확률의 표준 기법). 도구 #7 (쪼개기) — 유리 영역을 (a) 다이아몬드 + 버퍼, (b) 모서리 삼각형 네 개 + 버퍼 로 분리; 둘은 안 겹침. 도구 #10 (직접 만져보기) — 종이 모형으로 동전을 굴려보면 버퍼가 어떻게 생기는지 손으로 확인. 도구 #3 (가능성 지우기) — 마지막 a + b 가 다섯 정수 중 하나여야 함.

1STEP 1

전체 넓이 구하기

동전 (반지름 $\frac{1}{2}$ ) 중심이 7 × 7 정사각형 안에 있어야 하므로 표본공간 넓이는 49.

A_sample = 7 × 7 = 49

2STEP 2

겹침 조건 바꿔 말하기

"동전이 검은 영역과 겹침" 을 "중심이 검은 영역과 거리 $\frac{1}{2}$ 이내" 로 바꾸면 다이아몬드와 모서리 버퍼가 안 겹쳐 따로 더하면 됨.

F = {p : d(p, 검정) ≤ 1/2} ∩ 표본

3STEP 3

마름모 부분 넓이 구하기

한 변 2√(2) 다이아몬드 (넓이 8)를 부풀리면 직사각형 4개 (4√(2)) + 원 하나 ( $\frac{π}{4}$ )가 붙어 8 + 4√(2) + $\frac{π}{4}$ .

A_diamond = 8 + 4√(2) + π/4

4STEP 4

모퉁이 경계 잡기

왼쪽 아래 삼각형의 유리 영역 경계는 x = $\frac{1}{2}$ , y = $\frac{1}{2}$ , 그리고 빗변을 $\frac{1}{2}$ 밀어낸 x + y = 2 + $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

경계선: x = 1/2, y = 1/2, x + y = 2 + √(2)/2

5STEP 5

모퉁이 한 곳 넓이 구하기

그 모서리는 다리 1 + $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 직각삼각형, 넓이 $\frac{3 + 2\sqrt{2}}{4}$ ; 대칭인 네 모서리 합쳐 3 + 2√(2).

A_한 모서리 = (3 + 2√(2))/4, A_네 모서리 = 3 + 2√(2)

6STEP 6

유리한 넓이 모두 더하기

안 겹치는 두 넓이를 더하면 11 + 6√(2) + $\frac{π}{4}$ = $\frac{44 + 24\sqrt{2} + π}{4}$ .

A_F = (44 + 24√(2) + π)/4

7STEP 7

확률 계산하기

49로 나누면 P = $\frac{1}{196}$ (44 + 24√(2) + π), 따라서 a = 44, b = 24, a + b = 68, 선택지 (C).

P = 1/196(44 + 24√(2) + π); a + b = 68 → (C)

정답

감각 점검. P =

\frac{44 + 24\sqrt{2} + π}{196}

≈

\frac{44 + 33.9 + 3.14}{196}

≈

\frac{81.0}{196}

≈ 0.413. 약 41% — 검은 영역의 단순 비율은

\frac{16}{64}

= 25% 인데 동전이 영역의 경계 근처에 떨어져도 "겹침" 으로 카운트되니 더 큰 ∼ 40% 가 합리적. 계수 매칭: a + b = 68은 다섯 선택지 중 정확히 가운데 — 너무 작거나 (64, 66) 너무 크지 (70, 72)도 않은 균형 잡힌 값.

💡핵심 정리

이 어려운 AMC 10 문제도 사실 7-8학년 "넓이와 거리" 만으로 풀려요 — "동전이 검은 영역과 겹침" 을 "중심이 거리 $\frac{1}{2}$ 이내" 로 바꾸면, 유리 영역이 중앙 버퍼 다이아몬드 (8 + 4√(2) + $\frac{π}{4}$ ) + 네 작은 모서리 삼각형 ( $\frac{3 + 2\sqrt{2}}{4}$ 씩)로 깔끔하게 나뉘어, 확률 $\frac{44 + 24\sqrt{2} + π}{196}$ , 답 a + b = 68.

전체 넓이 구하기
겹침 조건 바꿔 말하기
마름모 부분 넓이 구하기
모퉁이 경계 잡기
모퉁이 한 곳 넓이 구하기
유리한 넓이 모두 더하기
확률 계산하기

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